FONDAMENTI DELLA MATEMATICA
cod. 07584

Anno accademico 2011/12
2° anno di corso - Secondo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Matematiche complementari (MAT/04)
Field
A scelta dello studente
Tipologia attività formativa
A scelta dello studente
72 ore
di attività frontali
9 crediti
sede:
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

Conoscenza e comprensione. La storia della matematica, l’epistemologia e la filosofia della matematica danno assieme importanti contributi alla formazione ed alla cultura dello studente. Il corso contribuirà alla formazione ed alla educazione in epistemologia e storia della matematica grazie alla conoscenza dei più importanti problemi della matematica del XIX secolo e della crisi dei fondamenti per tutto il XX secolo. Il corso per mezzo di seminari di approfondimento preparerà gli studenti alla elaborazione ed applicazione delle loro idee originali con un costante confronto con documenti prodotti dalla ricerca nel campo.
Applicazione delle conoscenze e comprensione. Si richiederà agli studenti di trovare la soluzione di problemi che coinvolgono diversi contesti matematici, facendo anche riferimento all’insegnamento della disciplina. Inoltre gli studenti saranno in grado di scegliere i quadri di riferimento adatti in cui inserire gli argomenti al fine di progettare e condurre argomentazioni personali riguardanti gli argomenti del corso.
Elaborare giudizi. Gli studenti saranno richiesti di integrare la loro conoscenza per trattare la complessità ed elaborare giudizi tenendo adeguatamente conto dei parametri storici, epistemologici.
Abilità di comunicazione.
Gli studenti saranno posti in grado di comunicare le loro conclusioni e la loro conoscenza, spiegando il fondamento logico delle loro scelte in contatto con partner aventi lo stesso livello di conoscenza e anche come divulgatori.
Abilità di apprendimento. Gli studenti dovranno acquisire un metodo di apprendimento adatto ad argomenti avanzati, per mezzo di una ricerca autonoma di altri testi per approfondire gli argomenti trattati durante le lezioni.

Prerequisiti

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Contenuti dell'insegnamento

Breve storia della Geometria dall’antichità all’Ellenismo. Il sillogismo e la sua evoluzione.
Geometrie non-euclidee.
Breve storia dell’Algebra fino al XIX secolo. The Analytical Society e suo ruolo. La Logica prima del XIX secolo. Boole, De Morgan e la Logica algebrica; Peirce, Dedekind, Schröder.
Dall’Algebra della Logica alla Logica algebrica. Frege. Il paradosso di Russell e sue conseguenze. Introduzione alla logica del primo ordine.
Influenze reciproche della Filosofia e della Matematica dall’epoca greca all’epoca moderna. I problemi dei fondamenti della Matematica tra 1875 e 1931. Il problema della coerenza e i risultati di Gödel.
Alcuni aspetti del linguaggio matematico.
L’epistemologia della Matematica dopo Gödel. Fondazione mediante la teoria delle categorie. Matematica alternativa. Significato filosofico della matematica e il suo insegnamento. Il riduzionismo.

Programma esteso

Capitolo 1. Breve storia della Geometria
Perché iniziare lo studio dei Fondamenti della Matematica dalla Geometria.
L’antichità mediterranea
Geometria in Egitto.
Geometria in Mesopotamia
La Geometria in civiltà non mediterranee.
Matematica cinese.
Matematica indiana.
La Geometria in Grecia prima di Euclide.
L’Elenco dei geometri
I teoremi
Euclide e la sua opera.
Euclide
Gli Elementi.
Rapporti tra le opere di Euclide e di Aristotele.
La Scienza deduttiva di Aristotele
Successo degli Elementi e della Scienza deduttiva.
Analogie e differenze tra Elementi e Scienza deduttiva
Geometria come insieme di enunciati.
Postulati di realtà e verità.
Postulato di deduttività.
Postulato di evidenza per termini.
Postulato di evidenza per enunciati.
Eguaglianza in Aristotele e in Euclide
Il termine uguale negli Elementi
Uguaglianza come sovrapposizione
Omogeneità.
Uguaglianza di rapporti.
Il ruolo delle definizioni in Aristotele e in Euclide
Quindi, Euclide
La Geometria in Grecia dopo Euclide
Archimede
Apollonio di Perge
Tarda grecità.
Conclusione.


Capitolo 2. Gli strumenti deduttivi
Il lascito greco
Sinossi storica della Logica greca.
Strumenti logici euclidei
Il contributo di Aristotele
Brani dagli Analitici primi
Le analisi dei commentatori
Il sillogismo e i suoi aspetti strutturali.
I termini.
Le figure.
Quantità e qualità
Il quadrato delle proposizioni e la loro tavola di verità
Le regole per i sillogismi
Termini presi universalmente
Le regole sui termini e le proposizioni
I modi del sillogismo
I modi della prima figura.
I modi della seconda figura.
I modi della terza figura.
I modi della quarta figura.
Le trasformazioni dei sillogismi.
Le differenti proposte delle Summulae logicales.
Il caso dei sillogismi con conclusione particolare.
Castillon.
Gli aspetti estensionali del sillogismo.
La matematizzazione di Leibniz – I diagrammi di Eulero
Analisi estensionale di alcuni sillogismi.
Barbara, Barbari.
Cesare, Cesaro.
Bocardo.
Fresison
Il calcolo delle proposizioni.
Il calcolo delle proposizioni nell’antichità greca
Dal Medioevo in poi.


Capitolo 3. Verità, validità e dimostrabilità – Il caso della Geometria
I nei di Euclide.
La veste sintattica delle Geometrie non euclidee
Vero, valido, teorema.


Capitolo 4. Il contributo di Boole alla logica.
Prima di Boole
La situazione dell’Algebra nel Regno Unito
La Logica inglese prima di Boole
L’opera logica di De Morgan
L’opera di Boole
Influenza della disputa tra De Morgan e William Hamilton.
Impostazione della Logica di Boole
Il calcolo di Boole
Un breve confronto tra le opere d Boole e di De Morgan
Logica di Boole dopo Boole.
I nei di Boole
Jevons
Venn e altri
Peirce e Schröder


Capitolo 5. Introduzione degli insiemi ed approccio logicista
Cantor e la ‘nascita’ degli insiemi.
Modifica dello scenario
Il contributo di Cantor
L’infinito
La nozione astratta di insieme
I numeri cardinali e le loro proprietà
Tre problemi con i numeri cardinali.
I numeri ordinali e le loro proprietà.
Gli assiomi impliciti della teoria degli insiemi
Frege.
L’opera di Frege.
Gli obiettivi di Frege
La polemica contro l’empirismo
La polemica contro lo psicologismo
Frege e Kant
La polemica contro il formalismo.
Altre polemiche
Il calcolo logico di Frege
Il linguaggio
Assiomi e regole
Estensione ed intensione


Capitolo 6. Il problema dei fondamenti
Il metodo assiomatico
Hilbert e le Grundlagen
Le idee di fondo delle Grundlagen
L’impianto assiomatico delle Grundlagen
Alcuni commenti agli assiomi
Lo sviluppo delle Grundlagen
Coerenza
Gli assiomi come definizioni
Un periodo di crisi
Le antinomie
Il Paradosso di Russell
La lettera di Russell
Il ruolo della relazione di appartenenza
I casi ‘riflessivi’ della relazione di appartenenza
Russell e i barbieri
La reazione di Frege
Altre antinomie
Il Paradosso di Berry
Il paradosso di Richard
Il paradosso di Zermelo – König
Le analisi dei paradossi
Circolo vizioso e autoriferimento
“Exemplo de Richard non pertine” – Ramsey


Capitolo 7. La soluzione neo-cantoriana
Da Cantor a Zermelo
Le motivazioni (a posteriori) del sistema assiomatico di Zermelo
L’insiemistica
Le operazioni insiemistiche
Cosa scegliere?
Assiomatizzazione delle operazioni
Lo schema di assiomi di isolamento
Rapporti tra assioma di isolamento e gli altri assiomi
Assioma di infinito
La proposta originale di Zermelo
I principi ispiratori generali
Le definizioni fondamentali e i primi due assiomi
L’assioma di separazione
Altri due assiomi
Il prodotto e l’assioma di scelta
L’assioma di infinito
Gli sviluppi del sistema assiomatico di Zermelo
Il sistema ZFS
Critiche all’assioma di separazione
L’assioma di rimpiazzamento
L’assioma di fondazione
Le teorie con classi.
La teoria NBG.
Confronto tra ZF e NBG.
La assiomatizzazione finita di NBG.
Il sistema MKM


Capitolo 8. Altre soluzioni dei paradossi
Le proposte del Logicismo
La teoria dei tipi
Russell e Peano
I prodromi dei Principia Matematica
Breve analisi dei Principia Matematica
Tipi ramificati
Gli assiomi non logici
Altri sistemi fondazionali logicisti
La teoria NF.
La teoria ML
Caratteri generali del costruttivismo.
Definizioni e dimostrazioni costruttive
Problemi legati alle versioni costruttive dei numeri reali
Intuizionismo
Brouwer
Logica intuizionista
Aritmetica intuizionista
Alcune idee di Analisi intuizionista
Hilbert e Brouwer
Formalismo
Dalla coerenza della Geometria a quella dell’Analisi.
La ripresa del programma nel secondo Hilbert
Il sistema logico di Hilbert.
Calcolo delle proposizioni
Calcolo delle dei predicati (del 1° ordine)
Il programma di Hilbert.
Le conferme al programma di Hilbert


Capitolo 9. Gödel e la sua opera
Il problema e le conseguenze della coerenza
Il teorema di completezza
Il teorema di incompletezza
La gödelizzazione
Le funzioni ricorsive primitive
L’aritmetica formalizzata
Il fenomeno della incompletezza
Il secondo teorema di incompletezza
La comunicazione della incompletezza
Conseguenze della incompletezza
Alcuni altri risultati di Gödel
Ipotesi del continuo e assioma di scelta
Relativizzazione
Costruibili
Oltre il modello di Gödel
Un’opera sulla teoria della dimostrazione
Capitolo 10. Dopo i teoremi di Gödel
Il panorama degli studi sui Fondamenti dopo il 1931
Gli sviluppi della logica matematica
Semantica formalizzata
Teoria dei modelli
Teoremi limitativi
Funzioni ricorsive generali
La Tesi di Church
Macchine di Turing
Nicolas Bourbaki
Le dimostrazioni dirette di coerenza
Gentzen
Le dimostrazioni di coerenza dell’Analisi
I costruttivismi
Gli algoritmi di Markov
Il costruttivismo di Bishop.
Ultrafinitismo
Computabilità effettiva
Le tesi dell’ultrafinitismo
Vopěnka e la matematica alternativa
Insiemi nella teoria alternativa.
Classi e semi-insiemi.
Finito ed infinito alternativo.
L’approccio categoriale ai Fondamenti.
Dagli insiemi ai morfismi
La ‘nascita’ delle categorie
Un’assiomatizzazione al primo ordine
La prima fondazione categoriale della Matematica
La seconda fondazione categoriale della Matematica
Alcuni aspetti della contemporanea Filosofia della Matematica.
Empirismo in Matematica
Lakatos
Formula di Eulero e dimostrazione di Cauchy.
Empirismo e Didattica
Il ruolo delle dimostrazioni
Altre proposte filosofiche sulla Matematica
Di nuovo Frege
Neo positivismo e Wittgenstein
Epistemologia secondo Quine
I problemi del platonismo
Conclusione.

Bibliografia

Borga, M., Paladino, D. (1997). Oltre il mito della crisi – Fondamenti della Matematica nel XX secolo (1997) Brescia: Editrice La Scuola.
Mangione, C., Bozzi S. (1993). Storia della Logica – Da Boole ai nostri giorni. Milano: Garzanti.
Speranza, F. (1997). Scritti di Epistemologia della Matematica, Bologna: Pitagora Editrice.
Bagni, G.T. (2006). Linguaggio, Storia e Didattica della Matematica, Bologna: Pitagora Editrice.
Bagni, G.T. Elementi di Storia della Logica Formale. Bologna: Pitagora Editrice.
Marchini, C. Appunti delle Lezioni di Fondamenti di Matematica A.A. 2009/2010

Metodi didattici

Metodi di insegnamenti.
Le lezioni si svolgeranno principalmente con uno stile trasmissivo, ma con un regolare dialogo con gli studenti che saranno chiamati alla lavagna per discutere i problemi, o per mostrare i loro livelli di comprensione e per prendere parte attiva al corso. Agli studenti sarà richiesto di partecipare attivamente a seminari per studiare in profondità alcuni argomenti del corso.
Valutazione
La valutazione sarà fatta con un esame orale finale, in cui gli studenti dovranno risolvere problemi matematici o interpretativo.

Modalità verifica apprendimento

Esame orale

Altre informazioni

Appunti disponibili al sito http://www.unipr.it/arpa/urdidmat/Fond09_10