GEOMETRIA
cod. 13102

Anno accademico 2012/13
1° anno di corso - Secondo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Geometria (MAT/03)
Field
Matematica, informatica e statistica
Tipologia attività formativa
Base
63 ore
di attività frontali
9 crediti
sede:
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

Fornire allo studente gli strumenti per:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici (simmetriche);
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio;
d) operazioni su vettori e matrici.

Prerequisiti

Precorso. L'esame di Geometria e' propedeutico a quello di Analisi Matematica 2.

Contenuti dell'insegnamento

Algebra lineare e geometria analitica.

Programma esteso

1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di una spazio vettoriale. Formula di Grassmann.

2. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprieta' fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice.

3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouche'-Capelli.

4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse.

5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.

6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positivita' per prodotti scalari. Cenni al caso complesso.

7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprieta' fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da una retta.

8. Complementi di algebra e/o geometria.

Bibliografia

F. Capocasa, C.Medori: "Corso di Geometria", ed. S.Croce.

Metodi didattici

Lezioni frontali (alla lavagna).

Modalità verifica apprendimento

Prova scritta (preceduta da un test) e una prova orale.

Altre informazioni

E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.