Obiettivi formativi
Il corso ha l'obiettivo di consentire allo studente di conoscere e di comprendere elementi essenziali dell'Algebra, dell'Algebra Lineare e della Geometria Euclidea dello spazio; il corso ha anche lo scopo di consentire allo studente di utilizzare la conoscenza e la comprensione acquisite in problemi riguardanti la struttura spaziale dell'ambiente reale, strutture grafiche e informatiche.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso rappresenta una introduzione a diversi aspetti dell'Algebra, dell'Algebra Lineare e della
Geometria.
Inizia con una parte di Geometria Euclidea nello spazio (vettori, rette e piani), mentre la seconda parte studia matrici e sistemi lineari. Nella terza parte del corso si studiano gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori. Il corso si chiude con la teoria algebrica dei gruppi.
Programma esteso
GEOMETRIA NELLO SPAZIO
1. Vettori nello spazio. Coordinate. Punti o vettori. Operazioni componente per componente. Il prodotto scalare. Lunghezze, distanze, ortogonalità. La disuguaglianza di Cauchy--Schwarz. Angolo fra vettori. Il prodotto vettoriale in R^3.
2. Rette e piani. Ortogonalità fra rette e piani. Appartenenza. Parallelismo. Equazioni cartesiane di una retta. Rette sghembe; rette e piani ortogonali. Cenni sulle superfici quadriche.
VETTORI, MATRICI, SISTEMI LINEARI
3. Lo spazio n-dimensionale R^n. Operazioni sui vettori. Proprietà delle operazioni. Il prodotto scalare in R^n. Proprietà del prodotto scalare. Lunghezze, distanze, ortogonalità. Angolo fra vettori.
4. Matrici. Operazioni sulle matrici. Proprietà delle operazioni sulle matrici. Prodotto di matrici. Proprietà del prodotto e potenza di una matrice. Matrici invertibili e matrice inversa. Trasposta di una matrice: matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici ortogonali. Il determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Rango per minori.
5. Sistemi lineari e matrici. Sistemi di equazioni lineari. Operazioni elementari. Matrici e sistemi ridotti. Insieme delle soluzioni di un sistema ridotto. Algoritmo di Gauss e riduzione. Rango di una matrice e sistemi lineari: Teorema di Rouché--Capelli. Mutua posizione di rette e piani nello spazio.
6. Spazi vettoriali e sottospazi (in R^n). Combinazioni lineari e spazi generati. Lineare dipendenza e indipendenza. Basi, coordinate e dimensione. Sottospazi vettoriali di R^n.
APPLICAZIONI LINEARI E DIAGONALIZZAZIONE
7. Applicazioni lineari. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari, e loro proprietà.
8. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione. Matrici del cambiamento di base e loro proprietà. Il problema della diagonalizzazione: operatori diagonalizzabili. Autovalori e autovettori. Il polinomio caratteristico. Condizioni per la diagonalizzabilità. Diagonalizzazione di matrici simmetriche.
ARITMETICA E TEORIA DEI GRUPPI
9. Numeri. I numeri naturali. I numeri interi: Teorema di divisione con resto. Divisori. Massimo comun divisore e sue proprietà. Numeri primi. Teorema fondamentale dell’aritmetica. Decomposizione in fattori primi. Minimo comune multiplo. Algoritmo di Euclide per il calcolo del m.c.d.. I numeri razionali. I numeri complessi: operazioni, forma trigonometrica, radici dell’unità.
10. Gruppi. Definizione, esempi importanti. Sottogruppi: esempi importanti. I sottogruppi di Z. Isomorfismi e omomorfismi di gruppi. Nucleo e immagine e loro proprietà. Z_n: definizione e operazioni. Z_p è un campo per p primo. Sottogruppi normali, centro di un gruppo. Esempi: gruppi di matrici, il gruppo simmetrico S_n.
Bibliografia
ALESSANDRINI, L., NICOLODI, L., GEOMETRIA A, ED. UNINOVA (PR) 2004.
Note a cura del docente.
Metodi didattici
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale in cui vengono proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi, da applicazioni e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in Algebra Lineare; in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta e attraverso un colloquio orale. La prova scritta può essere sostituita da due prove scritte parziali svolte durante il corso.
Nella prova scritta, attraverso gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base relative all' Algebra Lineare, alla Geometria Euclidea dello spazio e alla Teoria dei gruppi.
Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado di citare e dimostrare proprietà delle strutture studiate, utilizzando un appropriato linguaggio geometrico e algebrico ed un formalismo matematico corretto.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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