Obiettivi formativi
Conoscenza e comprensione:
- Capire la rappresentazione a modelli di stato di un sistema lineare.
- Capire le tecniche usate per la soluzione dei sistemi dinamici lineari.
- Capire le problematiche legati alla raggiungibilità e all'osservabilità dei sistemi lineari.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
- Rappresentare un sistema mediante modelli di stato.
- Calcolare evoluzione libera e forzata dei sistemi lineari.
- Decomporre un sistema nelle parti raggiungibili e non, osservabili e non.
- Progettare un regolatore basato su retroazione dello stato mediante assegnazione degli autovalori.
- Progettare un osservatore asintotico dello stato mediante assegnazione degli autovalori.
Prerequisiti
- Fondamenti di controlli automatici
- Algebra lineare
- Geometria
Contenuti dell'insegnamento
1) Cenni di modellistica dei sistemi lineari.
2) Ripasso di algebra lineare.
3) Sistemi autonomi a tempo continuo.
4) Sistemi autonomi a tempo discreto.
5) Sistemi non autonomi
6) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo discreto.
7) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo continuo.
8) Stabilità.
9) Stabilizzazione con retroazione stato-ingresso.
10) Osservabilità e ricostruibilità per i sistemi a tempo discreto.
11) Osservabilità e ricostruibilità per i sistemi a tempo continuo.
12) Osservatori.
Programma esteso
1) Cenni di modellistica dei sistemi lineari.
- Esempi di circuiti elettrici e definizione di sistema di controllo
2) Ripasso di algebra lineare.
- Spazi vettoriali, riduzione di Gauss, calcolo dell’inversa di una matrice, autovalori e autovettori.
- Sottospazi invariati, autovalori e autovettori generalizzati, teorema di decomposizione primaria, teorema di Hamilton-Cayley.
3) Sistemi autonomi a tempo continuo.
- Matrice fondamentale del sistema e sue proprietà.
- Esponenziale di matrice: definizione e calcolo.
- Trasformata di Laplace.
4) Sistemi autonomi a tempo discreto.
- Matrice fondamentale del sistema e sue proprietà.
- Potenza di matrice: definizione e calcolo.
- Trasformata Zeta
5) Sistemi non autonomi.
- Risposta all'impulso e funzione di trasferimento.
- Campionamento dei sistemi a tempo continuo.
- Equivalenza interna ed esterna tra sistemi.
6) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo discreto.
-Definizioni.
-Matrice di raggiungibilità.
-Proprietà.
7) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo continuo.
-Definizioni.
-Gramiano di raggiungibilità.
-Proprietà.
-Forma standard per i sistemi non completamente raggiungibili.
-Test PBH.
8) Stabilità.
-Stati di equilibrio.
-Stabilità semplice ed asintotica.
-Stabilità BIBO.
9) Stabilizzazione con retroazione stato-ingresso.
-Definizione di coppia stabilizzabile.
-Forma compagna e sue proprietà.
-Forma canonica di controllo.
-Formula di Ackermann.
-Assegnazione autovalori per i sistemi con più di un ingresso.
-Teorema di assegnazione dei poli.
10) Osservabilità e ricostruibilità per i sistemi a tempo discreto.
-Definizioni.
-Matrice di osservabilità.
-Proprietà.
11) Osservabilità e ricostruibilità per i sistemi a tempo continuo.
-Definizioni.
-Gramiano di osservabilità.
-Proprietà.
-Forma standard per i sistemi non completamente osservabili.
12) Osservatori.
- Osservatore ad anello aperto.
- Osservatore di Luenberger.
- Definizione di coppia rilevabile, condizioni e proprietà di dualità.
- Principio di separazione.
Bibliografia
"A Linear Systems Primer", autore: Antsaklis, Michel, Editore: Birkhauser.
Metodi didattici
Lezioni svolte alla lavagna dal docente ed esercitazioni svolte alla lavagna dalle studentesse e dagli studenti guidate dal docente.
Il materiale didattico utilizzato a supporto delle lezioni verrà caricato sulla piattaforma Elly durante lo svolgimento del corso.
Per scaricare il materiale didattico è necessaria l’iscrizione al corso on line.
Si ricorda alle studentesse e agli studenti non frequentanti di controllare il materiale didattico disponibile e le indicazioni fornite dal docente tramite la piattaforma Elly.
Modalità verifica apprendimento
La valutazione sommativa degli apprendimenti prevede due momenti:
1) una prova scritta strutturata in sei esercizi in cui la studentessa o lo studente dovrà risolvere esercizi di analisi di sistemi lineari e di progetto di regolatori e osservatori.
La durata della prova scritta è pari a 3 ore.
La prova scritta è valutata con scala 0-30.
La prova scritta completa può essere sostituita da due prove scritte parziali in itinere. La durata di una prova parziale è pari a 2 ore.
Le prove parziali sono valutate con scala 0-30.
La media aritmetica dei voti delle due prove parziali equivale al voto della prova scritta completa.
Il voto della prova scritta completa e delle prove scritte parziali viene comunicato nell'arco delle due settimane successive alle prove, tramite pubblicazione sulla piattaforma Elly.
2) una prova orale consistente nella discussione di due argomenti teorici trattati durante il corso. Durante la prova orale verrà verificato che la studentessa o lo studente sappia esporre in modo strutturato i concetti, le definizioni e i risultati degli argomenti richiesti presentando le dimostrazioni formali delle proprietà e mostrando la padronanza degli stumenti logico-matematici necessari.
La prova orale è valutata con scala 0-30.
Per ottenere il voto finale è necessario procedere alla media aritmetica dei voti della prova orale e della prova scritta completa (entrambe in trentesimi). Il docente si riserva di assegnare un punteggio aggiuntivo per prove orali particolarmente brillanti o per il conseguimento della lode.
Il voto finale viene comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Per accedere alla prova orale è necessario che il voto della prova scritta completa o di ogni singola prova scritta parziale sia di almeno 18 trentesimi.
La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame in cui si sostiene la prova scritta completa. Nel caso di superamento delle due prove scritte parziali, è possibile sostenere l'esame durante una delle prime due sessioni d'esame del 2025.
Si ricorda che l'iscrizione online all'appello è OBBLIGATORIA sia nel caso delle prove scritte sia nel caso della prova orale.
Sulla piattaforma Elly saranno disponibili i testi e le soluzioni delle prove scritte passate, formative e utili per monitorare il raggiungimento degli obiettivi di apprendimento in itinere e fornire feedback alle studentesse e agli studenti prima degli appelli ufficiali.
Le date delle prove scritte parziali saranno comunicate dal docente sia durante le lezioni che sulla piattaforma Elly.
Altre informazioni
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