Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Il Corso si propone di fornire gli elementi fondamentali della meccanica computazionale, con particolare riferimento alle metodologie di calcolo automatico applicate all’analisi di strutture generiche.
Il corso si propone inoltre di fornire le basi per l’analisi strutturale mediante tecniche numeriche in ambito lineare, statico o dinamico, e di mettere in grado lo studente di comprendere i concetti esposti nei testi scientifici della disciplina ed affrontare un approfondimento autonomo di tali aspetti.
Competenze:
Al termine del corso l’allievo dovrebbe essere in grado di modellare correttamente elementi strutturali e strutture in genere mediante la tecnica degli elementi finiti. In particolare, sarà capace di scegliere la tipologia degli elementi finiti con la formulazione più idonea per rappresentare la struttura oggetto di studio, così come la corretta rappresentazione delle condizioni al contorno e l’attribuzione delle caratteristiche meccaniche dei materiali.
Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di interpretare correttamente il comportamento strutturale di strutture generiche e di proporne una modellazione numerica appropriata.
Capacità comunicative:
Al termine del corso lo studente dovrebbe aver appreso la terminologia specifica della meccanica computazionale applicata alle strutture e la saprà utilizzare in modo appropriato.
Prerequisiti
È necessario aver frequentato i corsi di Scienza delle Costruzioni e Meccanica delle Strutture.
Contenuti dell'insegnamento
Gli argomenti trattati nel corso sono riportati di seguito:
• Fondamenti di meccanica computazionale.
• La modellazione strutturale.
• Fondamenti dei metodi variazionali.
• Metodi residuali.
• Fondamenti del metodo degli elementi finiti.
• Elementi finiti isoparametrici.
• Modellazione numerica di strutture generiche.
• Introduzione agli elementi finiti per problemi non-lineari.
Programma esteso
1. Fondamenti di meccanica computazionale:
La modellazione strutturale.
Fondamenti dei metodi variazionali.
Formulazione forte e debole di un problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali e naturali.
2. Principi variazionali:
Teorema dei lavori virtuali. Soluzione polinomiale approssimata. Metodo di Bubnov-Galerkin. Formulazione generale del metodo degli elementi finiti: forma differenziale e forma integrale. Principio di minimo dell’energia potenziale totale. Approssimazione del campo di spostamenti. Applicazione del metodo di Rayleigh-Ritz alle travi e alle piastre inflesse. Il metodo degli elementi finiti (EF) come sottoclasse dei metodi variazionali.
3. Metodi residuali:
I metodi dei residui pesati. Metodo dei sottodomini, metodo della collocazione, metodo dei minimi quadrati, metodo di Galerkin. Il metodo degli elementi finiti come sottoclasse dei metodi dei residui pesati.
4. Fondamenti del metodo degli elementi finiti:
Equazioni algebriche di equilibrio statico, dinamico e con coazioni di un sistema strutturale discretizzato con gli EF. Calcolo della matrice di rigidezza e del vettore dei termini noti. Assemblaggio della matrice di rigidezza globale della struttura. Trattamento e classificazione delle condizioni al contorno: lineari e non lineari, single freedom constraints, multi freedoms constraints. Metodo master-slave, metodo penalty, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
5. Modellazione strutturale mediante elementi finiti:
Scelta dell’elemento finito e delle funzioni di forma. Costruzione delle funzioni di forma locali e globali e delle loro derivate. Esempi per funzioni di forma lineari. Elementi finiti isoparametrici: definizione e condizioni di convergenza. Generazione di elementi finiti isoparametrici di tipo Lagrangiano e Serendipidy. Completezza delle funzioni di forma. Condensazione statica e sottostrutturazione.
6. Elementi finiti isoparametrici mono, bi e tridimensionali:
Elementi finiti per elementi strutturali monodimensionali: elementi biella (truss), trave alla Bernoulli ed alla Timoshenko (beam). Elementi finiti per elementi strutturali bidimensionali: elementi in stato piano di sforzo, di deformazione ed assialsimmetrici, elementi piani lastra (shell), elementi piani inflessi alla Kirchhoff e alla Mindlin (plate). Elementi finiti per elementi strutturali tridimensionali: elementi solidi in materiale isotropo ed ortotropo.
Integrazione numerica: formula del cambio di variabili in 1D, 2D, 3D. Formula del trapezio e di Simpson. Formula di Gauss. Accuratezza integrazione numerica. Formula di Gauss in 2D e 3D. Esempi. Calcolo del numero minimo di punti di integrazione nel caso 2D.
7. Condizioni di convergenza del metodo degli EF:
Errori dei metodi computazionali. Mal condizionamento e numero di condizionamento di una matrice. Cause di mal condizionamento. Scaling di una matrice. Requisiti di convergenza: Completezza, compatibilità, stabilità. Il Patch Test. Sovrastima della rigidezza, accuratezza della soluzione, integrazione ridotta, hourglass, materiali incomprimibili.
8. Analisi della struttura del diagramma di flusso di un semplice programma agli elementi finiti:
Post-processing dei risultati. Cenni sulla programmazione degli elementi finiti; sviluppo di semplici programmi di calcolo agli elementi finti per l’analisi di problemi strutturali.
9. Applicazioni - Modellazione numerica di strutture generiche:
Utilizzo di software commerciali ad elementi finiti per la modellazione di strutture ed elementi strutturali generici. Convergenza della soluzione (h- e p- convergenza). Analisi ed interpretazione critica dei risultati, valutazione della precisione delle analisi.
10. Introduzione agli elementi finiti per problemi non-lineari:
Classificazione dei comportamenti non-lineari modellazione strutturale. Concetto di linearizzazione. Metodo di Newton-Raphson. Formulazione del principio dei lavori virtuali per problemi non lineari.
Bibliografia
Testi di riferimento:
- Corradi dell’Acqua L.: "Meccanica delle strutture", Vol. 1,2 e 3, Mc Graw-Hill, 1995.
- Brighenti R.: “Analisi numerica dei solidi e delle strutture: fondamenti del metodo degli elementi finiti”. Esculapio Publisher, III Ed., 2019.
- Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E.: “Concept and application of finite element analysis”, IV Ed., John Wiley & Sons, 2002.
- Zienkiewicz O.C.: “The finite element method”, Mc Graw-Hill, 2000.
Materiale didattico:
- Dispense del Corso, scaricabili dalla piattaforma Elly di ateneo.
Tutti i testi sono disponibili per la consultazione presso la biblioteca del campus.
Metodi didattici
Il corso si articola in lezioni frontali teoriche (avvalendosi di presentazioni al computer), esercitazioni pratiche svolte dal docente, ed esercitazioni pratiche svolte in aula dagli studenti con l’uso del calcolatore, oltre ad esercitazioni assegnate agli studenti da svolgere autonomamente al di fuori degli orari del corso.
Per ogni argomento trattato, le esercitazioni vengono programmate in modo che lo studente possa realizzare praticamente le soluzioni dei problemi formulati precedentemente in forma teorica.
Modalità verifica apprendimento
La valutazione si basa sullo svolgimento di un progetto, concordato con il docente, ed un esame scritto, articolato sulla base di domande inerenti all’intero programma del corso.
Lo svolgimento del progetto può avvenire individualmente o a gruppi (max 2-3 studenti), e riguarda lo sviluppo e verifica di un semplice programma (in linguaggio FORTRAN o in ambiente MATLAB) di analisi strutturale agli elementi finiti.
La valutazione finale è così suddivisa:
- Svolgimento del progetto (competenza, 40%)
- Prova scritta (domande teoriche 30%, esercizi 30%)
Altre informazioni
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