Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
teoria degli spazi vettoriali.
Competenze:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici;
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio;
d) operazioni su vettori e matrici.
Autonomia di giudizio:
valutare la correttezza di una semplice dimostrazione.
Capacità comunicative e di apprendimento:
esprimersi correttamente con linguaggio matematico.
Prerequisiti
Precorso.
L'esame di Geometria è propedeutico a quello di Analisi Matematica 2.
Contenuti dell'insegnamento
1. Vettori nello spazio.
2. Matrici.
3. Sistemi lineari.
4. Spazi vettoriali.
5. Geometria del piano e dello spazio.
6. Applicazioni lineari e diagonalizzazione.
Programma esteso
0. Preliminari: insiemi numerici e strutture algebriche, il campo dei numeri complessi.
1. Vettori nello spazio: definizione e operazioni elementari, prodotto scalare e proprietà geometriche, prodotto vettoriale e significato geometrico.
2. Matrici: definizione e operazioni elementari, matrici quadrate, determinante, matrice inversa, rango di una matrice, matrici ortogonali e matrici unitarie, matrice di cambiamento di base.
3. Sistemi lineari: definizione, compatibilità, risoluzione tramite l'eliminazione di Gauss, Teorema di Rouché-Capelli.
4. Spazi vettoriali: definizione, dipendenza lineare, sottospazi, basi e coordinate, intersezione e somma di sottospazi, prodotto scalare, insiemi e basi ortonormali, algoritmo di Gram-Schmidt.
5. Geometria del piano e dello spazio: rette nel piano, fasci di rette, posizione reciproca di due rette, la circonferenza, distanza tra punto e retta, rette e piani nello spazio, posizione reciproca tra due rette, tra rette e piani e tra piani, fasci di piani, la sfera, distanza tra punto e piano.
6. Applicazioni lineari e diagonalizzazione: definizione e proprietà, matrici associate, nucleo e immagine, autovalori e autovettori, diagonalizzabilità di un endomorfismo e di una matrice quadrata, Teorema spettrale, prodotti scalari, prodotti hermitiani e matrici congruenti.
Bibliografia
Sulla mia home page sono a disposizione le dispense del corso.
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M. Abate, Geometria.
L. Alessandrini, L. Nicolodi, GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE con esercizi svolti, Casa Editrice UNI.NOVA, Parma, 2012.
Altri testi:
G. Catino, S. Mongodi - Esercizi svolti di Geometria e Algebra Lineare, Società editrice Esculapio;
A. Sanini, Elementi di Geometria, Levrotto & Bella;
A. Sanini, Esercizi di Geometria, Levrotto & Bella;
E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Le lezioni sono anche disponibile registrate (https://www.youtube.com/watch?v=na1uWXfP6IA&list=PLApKuB-HooHIcZ-JGUCYHrlZT3HLQH7l8), ma è vivamente consigliata la frequenza del corso. Le lezioni registrate sono da intendere come uno strumento extra per lo studio o nel caso si perdesse qualche lezione.
Modalità verifica apprendimento
L'esame prevede:
- una prova scritta di due ore che richiede la risoluzione di 4 esercizi.
- una prova orale da svolgersi circa una settimana dopo lo scritto.
Per gli studenti che seguono le lezioni lo scritto può essere suddiviso in due prove parziali da svolgersi durante il corso.
Se permane l'emergenza sanitaria, lo scritto potrebbe essere sostituito con una test al computer che prevede 14 domande a risposta multipla da svolgere in 90 minuti.
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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