Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
teoria degli spazi vettoriali.
Competenze:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici (simmetriche);
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio;
d) operazioni su vettori e matrici.
Autonomia di giudizio:
valutare la correttezza di una semplice dimostrazione.
Capacità comunicative e di apprendimento:
esprimersi correttamente con linguaggio matematico.
Prerequisiti
Precorso. L'esame di Geometria e' propedeutico a quello di Analisi Matematica 2.
Contenuti dell'insegnamento
1. Spazi vettoriali reali e complessi.
2. Determinanti e rango di una matrice.
3. Sistemi lineari.
4. Applicazioni lineari.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale.
6. Prodotti scalari.
7. Geometria affine delle spazio.
8. Elementi di geometria analitica dello spazio.
9. Complementi di algebra e/o geometria.
Programma esteso
0. Preliminari: relazioni di equivalenza e partizioni di un insieme; strutture algebriche (gruppi e campi).
1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di una spazio vettoriale. Formula di Grassmann.
2. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprieta' fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouche'-Capelli.
4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari (o della dimensione, o nullita' piu' rango). Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positivita' per prodotti scalari: teorema di Sylvester. Cenni al caso complesso.
7. Geometria affine delle spazio.
Parallelismo e mutua posizione di sottospazi affini.
8. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprieta' fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da una retta.
9. Complementi di algebra e/o geometria.
Bibliografia
F. Capocasa, C.Medori: "Corso di Geometria", ed. S.Croce (Parma, 2013).
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento prevede un esame finale comprendente un test preliminare a risposta multipla, un elaborato scritto e un colloquio orale. Potrebbero essere previste prove intermedie durante il corso, che valgono ai fini del superamento della prova scritta. Nella prova scritta, attraverso i test e gli esercizi proposti, lo studente dovra' dimostrare di possedere le conoscenze di base dell'algebra lineare e della geometria. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado di enunciare e dimostrare i risultati presentati durante le lezioni, utilizzando un linguaggio appropriato ed un formalismo matematico corretto.
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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