Obiettivi formativi
Conoscenze e capacita' di comprendere.
Lo studente dovra' conoscere gli elementi di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili reali e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Il corso si concentra sugli aspetti applicativi e di calcolo piuttosto che su considerazioni di natura teorica.
Competenze.
Lo studente dovra' dimostrare comprensione teorica e applicativa degli argomenti studiati.
Capacita' di giudizio.
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacita' comunicative.
Lo studente dovra' essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo.
Prerequisiti
Solida conoscenza di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili reali ed equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
1) Preliminari di algebra lineare e topologia.
Algebra lineare e geometria: spazi vettoriali, norma e prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy--Schwarz; applicazioni lineari e matrici, autovalori e diagonalizzazione delle matrici simmetriche, forme quadratiche; elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio.
Topologia: punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi; insemi compatti ed insiemi connessi.
2) Calcolo differenziale.
Limiti e continuita': limiti per funzioni di piu' variabili reali; funzioni continue di piu' variabili reali; teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi.
Calcolo differenziale: derivate direzionali e parziali, funzioni differenziabili scalari e vettoriali, gradiente e suo significato; piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione; differenziabilita' della funzione composta; funzioni con gradiente nullo; funzioni differenziabili di classe C1. Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi e cambi di variabile.
Funzioni di classe C2: funzioni di classe C2, teorema di Schwarz e matrice Hessiana; formula di Taylor del secondo ordine; massimi e minimi locali e globali, punti di sella; condizioni necessarie e/o sufficienti per l'ottimizzazione di funzioni.
Superfici: teorema della funzione implicita e moltiplicatori di Lagrange.
3) Curve e campi vettoriali.
Curve orientate: semplici, chiuse, lisce e regolari; lunghezza di una curva e rettificabilita' delle curve lisce; curve equivalenti e ascissa curvilinea.
Campi vettoriali: integrale curvilineo di un campo vettoriale; campi conservativi e potenziali; campi irrotazionali.
4) Integrali multipli
Integrazione: insiemi misurabili e misura secondo Peano--Jordan; integrale e sue proprieta'; funzioni integrabili; formule di riduzione e teorema di Fubini.
Cambio di variabili negli integrali multipli: teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli; significato geometrico dello Jacobiano per le trasformazioni lineari; cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche.
5) Equazioni Differenziali Ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie: definizioni ed esempi; teoremi di esistenza locale ed unicita'; soluzioni massimali e soluzioni globali; risoluzione di alcuni tipi di equazioni scalari (lineari, a variabili separabili, di Bernoulli).
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: sistema fondamentale di soluzioni; formula di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange.
Bibliografia
E. ACERBI - G. BUTTAZZO
"Secondo corso di analisi matematica", Pitagora, Bologna 2016
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni (4 + 4 ore per settimana).
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta e colloquio orale.
Altre informazioni
Il corso si svolge a ritmo sostenuto ed e' essenziale lavorare costantemente durante il semestre.
