Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine dell’insegnamento lo studente dovrà acquisire la capacità di comprendere il concetto di limite e di continuità per funzioni di più variabili, le conoscenze fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili e la teoria di risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n a coefficienti costanti e continui
Competenze:
Le competenze acquisite permetteranno di poter calcolare i punti di minimo e massimo assoluti di una funzione regolare in più variabili su un insieme n-dimensionale chiuso e limitato con bordo regolare, di calcolare il volume di un insieme limitato n-dimensionale con bordo regolare, di determinare la soluzione.
Prerequisiti
E’ obbligatorio aver superato l’esame di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
4-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
5-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
Programma esteso
1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
1.1 Prodotto scalare euclideo e sue proprietà.
1.2 Norma euclidea, sue proprietà e disuguaglianza di Schwarz.
1.3 Distanza euclidea, sue proprietà e sistema fondamentale di intorni di un punto.
1.4 Definizione di punto interno, di parte interna di un insieme, di insieme aperto e proprietà degli insiemi aperti.
1.5 Definizione di insieme chiuso e proprietà degli insiemi chiusi.
1.6 Definizione di punto di accumulazione, di punto isolato, di chiusura di un insieme, di punto di frontiera e di frontiera di un insieme.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
2.1 Definizione di limite di una successione vettoriale, di limite di una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali, unicità del limite, e proprietà dei limiti.
2.2 Definizione di continuità per una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali e proprietà delle funzioni continue.
2.3 Insiemi compatti,loro caratterizzazione e teorema di Weierstrass.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.1 Derivate parziali e derivate direzionali.
3.2 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori reali.
3.3 Teorema del differenziale totale.
3.4 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.5 Differenziabilità delle funzioni composte.
3.6 Derivate parziali di ordine superiore e teorema di Schwarz.
3.7 Formula di Taylor arrestata al secondo ordine.
3.8 Punti stazionari e condizione necessaria affinché un punto sia di minimo o massimo relativo interno.
3.9 La matrice Hessiana e condizione sufficiente affinché un punto sia di minimo (massimo) relativo interno.
3.10 Punti stazionari vincolati.
4-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
4.1 Definizione di funzione integrabile secondo Riemann su un insieme limitato regolare n-dimensionale e proprietà dell’integrale.
4.2 Teorema di riduzione degli integrali multipli.
4.3 Teorema del cambio di variabile negli integrali multipli.
5-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
5.1 Teorema di caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui di ordine n.
5.2 Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy.
5.3 Metodo per la determinazione di n soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea a coefficienti costanti.
5.4 Metodo per la determinazione di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.
Bibliografia
Qualsiasi testo di Elementi di Analisi Matematica 2.
Metodi didattici
La didattica si articolerà in lezioni frontali di teoria svolte dal docente alla lavagna e in esercitazioni atte ad illustrare ed applicare la teoria precedentemente svolta.
Modalità verifica apprendimento
Non sono previste prove in itinere.
E’ prevista una prova scritta finale a risposte libere della durata di tre ore e articolata in tre o quattro quesiti di tipo computazionale e teorico. Lo studente può accettare il voto della prova scritta se esso risulta sufficiente od eventualmente migliorarlo con la prova orale.
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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