Obiettivi formativi
Il corso presenta alcune delle idee e degli strumenti di base dell'analisi matematica moderna, a partire dalla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue per proseguire con l'analisi funzionale lineare in spazi di Banach e di Hilbert e con le topologie deboli. Queste idee e strumenti sono applicati allo studio di alcuni classici problemi di analisi reale.
Al termine dell'attività formativa lo studente dovrà avere una solida conoscenza degli elementi essenziali della teoria della misura e dell'integrazione e dell'analisi funzionale in spazi di Banach e di Hilbert.
In particolare, lo studente dovrà
1. esibire una completa e approfondita conoscenza dei contenuti del corso;
2. essere in grado di produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici correlati a quelli esaminati nel corso;
3. essere in grado di analizzare e valutare la coerenza e la correttezza di argomentazioni e risultati ottenuti da lui o da altri;
4. essere in grado di comunicare in modo chiaro e rigoroso i contenuti del corso utilizzando il linguaggio matematico appropriato;
5. essere in grado di accedere autonomamente ai testi principali della letteratura scientifica sull'argomento.
Prerequisiti
Solida conoscenza di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali, algebra lineare e topologia.
Contenuti dell'insegnamento
Elementi di base di teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue e di analisi funzionale lineare in spazi di Banach e di Hilbert.
Programma esteso
1) Misura e integrazione astratta.
2) Costruzione di misure (metodo di Carathéodory).
3) Misura e integrale di Lebesgue in R^n.
4) Spazi di Hausdorff localmente compatti e misure di Radon.
5) Misure reali o complesse e teorema di Radon-Nikodym.
6) Spazi di Banach e operatori lineari limitati. Spazio duale.
7) Teoremi di Hahn-Banach, dell'applicazione aperta e principio di uniforme limitatezza.
8) Spazi di Banach di funzioni continue (completezza, separabilità, compattezza e duale).
9) Spazi Lp (completezza, separabilità, compattezza e duale). Convoluzioni.
10) Spazi di Hilbert.
11) Teoria spettrale per operatori compatti e autoaggiunti.
12) Serie di Fourier. Convergenza puntuale e teoria L2.
13) Topologia debole e debole*.
Bibliografia
Appunti delle lezioni e materiale tratto dai seguenti testi:
W. Rudin "Real and complex analysis", McGraw-Hill, New York 1987
W. Rudin "Functional analysis", McGraw-Hill, New York 1991
G. B. Folland "Real analysis. Modern techniques and applications", J. Wiley & Sons, New York 1999
E. Hewitt -- K. Stromberg "Real and abstract analysis", Springer, New York 1975
D. Cohn "Measure theory", Birkhäuser/Springer, New York 2013
Metodi didattici
Lezioni frontali in presenza (6 ore per settimana) ed esercitazioni guidate. La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene in forma tradizionale attraverso la valutazione degli esercizi assegnati durante il corso ed attraverso un colloquio orale finale sul programma svolto.
Gli esami si svolgeranno in presenza.
Altre informazioni
- - -
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
- - -
