Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Al termine del corso lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative
agli elementi di base della teoria degli spazi di Sobolev, degli operatori compatti in spazi normati, e della formulazione variazionale delle equazioni differenziali ellittiche.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Attraverso gli esercizi svolti in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi espliciti.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito degli argomenti del corso, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado
di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni.
Prerequisiti
Calcolo differenziale per funzioni di una e piu' variabili reali. Algebra lineare. Topologia.
Teoria della misura ed integrazione secondo Lebesgue. Elementi di base di analisi funzionale lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso fornisce una panoramica sugli spazi di Sobolev e sugli operatori compatti, con applicazioni allo studio delle equazioni alle derivate parziali lineari ellittiche del secondo ordine con condizioni al bordo.
Programma esteso
Richiami sugli spazi L^p e sulla teoria delle convoluzioni.
Derivate deboli e spazi W^{k,p}.
Caratterizzazioni degli spazi W^{k,p} e loro proprietà: immersioni, prodotti, composizioni, invarianza locale per diffeomorfismi. Il concetto di traccia al bordo. Spazi W^{1,p}_0 e disuguaglianze di Poincaré.
Formulazione variazionale di problemi ellittici con condizioni al bordo. Il lemma di Lax-Milgram. Regolarità H^2 delle soluzioni deboli di equazioni differenziali ellittiche. Equazioni ellittiche in L^p e negli spazi di funzioni holderiane limitate (cenni).
Operatori compatti. Spettro e risolvente di operatori lineari.
Il teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti in spazi di Hilbert. Applicazione agli operatori ellittici
Bibliografia
H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer Verlag 2011.
L.C. Evans, Partial differential equations, 2nd Edition, American Mathematical Society 2010.
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 2nd Edition, Springer Verlag 1983.
L.C. Evans, R.F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, Studies in Advanced Mathematics. CRC Press 1992
L.C. Evans, Partial differential equations, 2nd Edition, American Mathematical Society 2010.
Metodi didattici
Lezioni frontali. Una parte delle ore sarà dedicata alla discussione di esercizi.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso
una prova orale in cui verrà valutata
la conoscenza e la padronanza dei risultati presentati nel corso, le loro dimostrazioni, e la capacità di risolvere semplici problemi nell'ambito della teoria svolta.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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