Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di apprendere: Alla fine del percorso di insegnamento, lo studente dovrà conoscere le definizioni e i risultati fondamentali, gli strumenti e i metodi matematici dell’Analisi Matematica (limiti, calcolo differenziale e calcolo integrale di funzioni reali di una variabile reale, serie numeriche, equazioni differenziali ordinarie) necessari in diverse applicazioni, e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Competenze: Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi di Analisi Matematica non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi, nonché di estrapolare dati significativi per una loro interpretazione
Autonomia di giudizio: Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza delle soluzioni prodotte durante l'esame scritto, costruendo e sviluppando argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; dovrà riconoscere dimostrazioni corrette e di individuare ragionamenti fallaci.
Capacità comunicative: Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso, tramite un linguaggio matematico formalmente corretto, anche lavorando in gruppo.
Prerequisiti
Abilità nella trattazione di espressioni numeriche e nella risoluzione di equazioni e disequazioni numeriche. Funzioni elementari (potenze, polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche).
Contenuti dell'insegnamento
Nozioni base di logica matematica e di teoria degli insiemi. I numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale : proprietà, limiti, continuità, derivabilità, integrabilità. Equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
1. Elementi di teoria degli insiemi; operazioni fra insiemi, connettivi logici. Insiemi numerici: N, Z, Q, R.
Operazioni algebriche, ordinamento, maggioranti, minoranti, estremi superiore ed inferiore, massimo e minimo. Intervalli e intorni.
2. Funzioni reali e proprietà: definizione, dominio, codominio e immagine. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, inverse. Composizione di funzioni e proprietà. Grafico di una funzione.
Funzioni monotone. Funzioni limitate. Punti di massimo e di minimo di una funzione reale.
Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche.
3. Limiti di funzioni di variabile reale, limite destro e sinistro, teoremi fondamentali sui limiti; teoremi di confronto; limiti di funzioni composte; limiti notevoli. Operazioni coi limiti e forme indeterminate.
Continuità di una funzione reale e proprietà: permanenza del segno, continuità della funzione composta. Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass. Funzioni invertibili e continuità dell'inversa di una funzione continua.
4. Serie numeriche: definizione di serie numerica e prime proprietà; criteri di convergenza per serie a termini non negativi; serie a termini di segno alterno.
5. Calcolo differenziale: rapporto incrementale e suo significato geometrico, derivazione, regole di derivazione, proprietà delle funzioni derivabili. Estremi relativi, teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e conseguenze. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive e formule di Taylor. Studio di funzione: crescenza, decrescenza, concavità, convessità, asintoti e grafico.
6. Calcolo integrale: definizione dell’integrale, proprietà dell'integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo. Calcolo di integrali definiti. Integrale indefinito, primitive, secondo teorema fondamentale del calcolo. Teorema della media integrale. Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita. Cenni sugli integrali impropri.
7. Equazioni differenziali ordinarie. Integrazione di alcune equazioni differenziali: equazioni lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Problemi di Cauchy. Alcuni modelli di ODE.
Bibliografia
Può esser utilizzato qualunque testo di Analisi 1, come ad esempio,
M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli: Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, Mc-Graw Hill Education, 2021
E. Acerbi, G. Buttazzo: Analisi Matematica ABC vol. 1, Ed. Pitagora, 2003.
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 1", Ed. Zanichelli.
Metodi didattici
L’insegnamento si svolge attraverso lezioni frontali in cui si affrontano aspetti sia teorici che, soprattutto, applicativi. Le esercitazioni sono programmate in modo che gli studenti possano realizzare praticamente le soluzioni dei problemi delineati in forma teorica durante le lezioni stesse.
È prevista inoltre una sessione di ricevimento a settimana, e su appuntamento.
Materiale didattico aggiuntivo sarà distribuito tramite il blog del corso su Elly.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una verifica finale consistente in una prova scritta (quiz a risposta multipla e quesiti aperti) seguita da una prova orale (facoltativa o a discrezione del docente).
Altre informazioni
Nessuna
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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