Obiettivi formativi
L'insegnamento mira a fornire allo studente i concetti basilari dell'Analisi Matematica, con particolare riferimento al calcolo integrale in una variabile reale, alle serie numeriche e alle prime nozioni sulle equazioni differenziali ordinarie . Si tratta di alcuni degli strumenti fondamentali per una preparazione di base in matematica nonche' per la comprensione di insegnamenti paralleli e successivi.
Al termine del corso lo studente dovrebbe:
1) Saper risolvere esercizi e problemi sugli argomenti relativi all'insegnamento, raggiungendo quindi le seguenti capacita' operative: calcolo di integrali indefiniti e definiti; calcolo di aree; valutare la convergenza e, in alcuni casi calcolare, integrali impropri; studiare alcune funzioni integrali; valutare la convergenza e, in alcuni casi calcolare, serie numeriche; saper operare con i numeri complessi, ad esempio calcolare potenze e radici in campo complesso; saper risolvere equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti.
2) Comprendere i concetti ed essere in grado di esprimerli in linguaggio matematico corretto; conoscere le principali tecniche dimostrative ed essere in grado di riprodurre le dimostrazioni svolte a lezione.
3) Costruire semplici esempi di casi generali o controesempi a proposizioni false
Prerequisiti
I contenuti del primo Modulo di Analisi Matematica 1
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo integrale per funzione in una variabile
Integrali impropri e serie numeriche
Numeri complessi
Equazioni differenziali ordinarie
Programma esteso
APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Corollari del teorema di Lagrange: criteri di monotonia. Massimi e minimi locali. Convessità. Criteri per max/min locali.
Studio qualitativo del grafico di funzione.
CALCOLO INTEGRALE
Primitive e integrali indefiniti; regole di integrazione indefinita; integrali definiti; integrale secondo Cauchy-Riemann; media integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale; applicazioni degli integrali.
INTEGRALI IMPROPRI E SERIE NUMERICHE
Definizione di integrale improprio; esempi di calcolo; alcuni criteri di convergenza; definizione di serie numerica; la serie geometrica; serie telescopiche;
la serie armonica; serie a termini positivi; criteri di convergenza: confronto, radice e rapporto; serie a segno alterno; confronto tra serie e integrali impropri.
NUMERI COMPLESSI
Definizione e prime proprietà dei numeri complessi; modulo e coniugio;
rappresentazioni dei numeri complessi: cartesiana, trigonometrica, esponenziale; potenze e radici in campo complesso; teorema fondamnetale dell'Algebra
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Definizioni generali; problema ai valori iniziali; equazioni del primo ordine: interpretazione geometrica (isocline); risoluzione delle equazioni a variabili separabili; equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti variabili: equazione omoogenee, equazione con termine forzante, metodo della variazione delle costanti.
Bibliografia
Teoria
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 Analisi Matematica 1. Società editrice Esculapio 2012.
Esercizi
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 Analisi Matematica 1. Esercizi. Società editrice Esculapio 2013.
Metodi didattici
Il corso è articolato in lezioni frontali svolte dal docente alla lavagna, in cui viene esposta la teoria e viene applicata a svariati esempi e alla risoluzione di esercizi.
Appunti delle lezioni ed ulteriore materiale per esercitazioni verranno forniti tramite la piattaforma Elly
Modalità verifica apprendimento
Esame congiunto con Analisi matematica 1 (primo modulo). Consiste di una prova scritta e prova orale in date differenti.
Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi (indicativamente 3 o 4) che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici visti durante il corso in alcuni casi concreti. Il voto della prova scritta è espresso in 30esimi e lo studente è ammesso all'orale se totalizza almeno 15 punti nella prova scritta.
La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni, l'acquisizione di un linguaggio specifico e la conoscenza degli argomenti non presenti nella prova scritta. Il voto finale è dato dalla media pesata del voto della parte scritta e della parte orale.
Altre informazioni
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