Obiettivi formativi
Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso Analisi Matematica 1 sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito delle successioni e serie numeriche, del calcolo differenziale per funzioni di una sola variabile, del calcolo integrale e delle equazioni differenziali, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente la preparazione degli altri esami del corso di laurea in cui vengono usate nozioni di Analisi Matematica.
L'insegnamento contribuisce a dare allo studente una mentalità flessibile che gli permette di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente ad affrontare nuove problematiche. Contribuisce inoltre, assieme ad altri insegnamenti del Corso di Laurea, a rendere lo studente in grado di acquisire nuove conoscenze nell'ambito della matematica e della fisica o nell'ambito dell'attività lavorativa mediante uno studio autonomo. Infine contribuisce a rendere lo studente in grado di proseguire gli studi, sia in Fisica che in altre discipline di tipo scientifico, con un alto grado di autonomia.
Prerequisiti
Elementi di Matematica per l'intero corso Analisi Matematica 1
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente nozioni fondamentali su:
insiemi numerici;
concetti fondamentali del calcolo differenziale per funzioni di una variabile e delle successioni numeriche
calcolo integrale per funzione in una variabile
integrali impropri e serie numeriche
numeri complessi
prime nozioni su equazioni differenziali ordinarie
Programma esteso
1. I NUMERI REALI
Definizione assiomatica dei numeri reali, numeri razionali e irrazionali; massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; densità dei razionali nei reali; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; intervalli, distanza, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni. Principio d'induzione; potenza del binomio.
2. SUCCESSIONI DI NUMERI REALI
Il concetto di successione, successioni convergenti, unicità del limite; successioni infinitesime, successioni divergenti; sottosuccessioni, criterio di non esistenza del limite; algebra dei limiti, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; successioni monotone; il numero di Nepero; successioni definite per ricorrenza; il criterio di Cauchy per le successioni; teorema di Bolzano-Weierstrass.
3. FUNZIONI E LIMITI
Richiami sulle funzioni: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche. Limiti di funzioni; limiti delle restrizioni, limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone; limiti notevoli.
4. CONTINUITA'
Il concetto di funzione continua, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema dei valori intermedi; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass. Potenze con esponente reale.
5. CALCOLO DIFFERENZIALE
Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; teorema di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teoremi di Cauchy e di De l'Hopital. La formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange.
6. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Corollari del teorema di Lagrange: criteri di monotonia. Massimi e minimi locali. Convessità. Criteri per max/min locali.
Studio qualitativo del grafico di funzione.
7. CALCOLO INTEGRALE
Primitive e integrali indefiniti; regole di integrazione indefinita; integrali definiti; integrale secondo Cauchy-Riemann; media integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale; applicazioni degli integrali.
8. INTEGRALI IMPROPRI E SERIE NUMERICHE
Definizione di integrale improprio; esempi di calcolo; alcuni criteri di convergenza; definizione di serie numerica; la serie geometrica; serie telescopiche; la serie armonica; serie a termini positivi; criteri di convergenza: confronto, radice e rapporto; serie a segno alterno; confronto tra serie e integrali impropri.
9. NUMERI COMPLESSI
Definizione e prime proprietà dei numeri complessi; modulo e coniugio;
rappresentazioni dei numeri complessi: cartesiana, trigonometrica, esponenziale; potenze e radici in campo complesso; teorema fondamentale dell'Algebra
10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Definizioni generali; problema ai valori iniziali; equazioni del primo ordine: interpretazione geometrica (isocline); risoluzione delle equazioni a variabili separabili; equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti variabili: equazione omogenee, equazione con termine forzante, metodo della variazione delle costanti.
Bibliografia
Teoria
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 Analisi Matematica 1. Società editrice Esculapio 2012.
Esercizi
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 Analisi Matematica 1. Esercizi. Società editrice Esculapio 2013.
Metodi didattici
Entrambi i moduli prevedono 5 ore di lezioni/esercitazioni alla settimana.
Durante le lezioni frontali verranno illustrate le proprietà fondamentali degli insiemi numerici, dei concetti base dell'analisi matematica per funzioni di una sola variabile, del calcolo integrali per funzioni di una variabile, dei principali risultati sulle successioni e serie numeriche, e delle prime nozioni sulle equazioni differenziali.
Le esercitazioni hanno lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.
Le lezioni vengono svolte utilizzando un tablet pc che permette di proiettare su uno schermo gli appunti scritti a lezione dal docente e di pubblicare al termine di ogni singola lezione, sul sito elly dedicato, un file pdf con quanto scritto a lezione.
Modalità verifica apprendimento
L' esame di Analisi matematica 1 è congiunto per entrambi i moduli. Consiste di una prova scritta e prova orale in date differenti.
Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi (indicativamente 3 o 4) che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici visti durante il corso in alcuni casi concreti. Il voto della prova scritta è espresso in 30esimi e lo studente è ammesso all'orale se totalizza almeno 18 punti nella prova scritta.
La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni, l'acquisizione di un linguaggio specifico e la conoscenza degli argomenti non presenti nella prova scritta. Il voto finale è dato dalla media pesata del voto della parte scritta e della parte orale.
Altre informazioni
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