Obiettivi formativi
Il corso intende fornire un'introduzione alla modellistica matematica mediante equazioni differenziali.
Contenuti dell'insegnamento
PRIMA PARTE
Problemi di Sturm Liouville. Autovalori ed autofunzioni.
Introduzione alla teoria delle distribuzioni.
Problemi al contorno non omogenei e funzione di Green.
Classificazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali lineari del secondo ordine. Problemi di Cauchy.
Equazioni differenziali alle derivate parziali quasi lineari del primo ordine; risoluzione con il metodo delle caratteristiche.
Equazioni differenziali alle derivate parziali quasi lineari del secondo ordine. Metodo di Jacobi.
Cenno sulle soluzioni deboli.
SECONDA PARTE
Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni stazionarie.
Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.
Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-Volterra, i modelli preda-predatore, il modello
epidemiologico.
Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.
Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.
Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani.
Sistemi dinamici
discreti: mappa di Feigenbaum; biforcazioni di periodo doppio.
Bibliografia
G.Spiga, Problemi matematici della Fisica e dell'Ingegneria, PITAGORA,Bologna;
A.N.Tichonov, A.A.Samarskij, Equazioni della Fisica Matematica, MIR,Mosca;
F.G.Tricomi,Equazioni differenziali,EINAUDI, Torino;
F.G.Tricomi, Istituzioni di Analisi Superiore, CEDAM,Padova.
G.L. CARAFFINI, M. IORI, G. SPIGA, Proprietà elementari dei sistemi dinamici, Appunti per il corso di Meccanica Razionale, UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PARMA, a.a 1998-99;
G. BORGIOLI, Modelli Matematici di evoluzione ed equazioni differenziali, Quaderni di Matematica per le Scienze Applicate/2, CELID, TORINO, 1996;
R. RIGANTI, Biforcazioni e Caos nei modelli matematici delle Scienze applicate, LEVROTTO & BELLA TORINO, 2000;
M.W HIRSCH, S. SMALE, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1974;
J.D. MURRAY, Mathematical Biology, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1989;
J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vectors Fields, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1983;
M. SQUASSINA, S. ZUCCHER, Introduzione all'analisi qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie (ebook), APOGEO, 2008.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni
