Obiettivi formativi
il corso intende fornire conoscenze tecniche di base di algebra lineare allo scopo di fornire strumenti per la risoluzione di sistemi lineari, per diagonalizzare matrici e per descrivere in modo semplice il comportamento di enti geometrci nel piano e nello spazio.
Il corso fornisce anche conoscenze di base di teoria spettrale euclidea ed hermitiana e la nozione di spazio proiettivo e di spazio affine.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Campo dei numeri complessi: forma trigonometrica ed esponenziale.
Calcolo vettoriale: somma di vettori moltiplicazione per un numero reale, prodotto scalare e prodotto vettoriale.
Riferimenti e coordinazione nel piano e nello spazio. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani. Parallelismo e ortogonalità. Distanze ed angoli.
Somma e prodotto fra matrici. Determinante e rango di una matrice. Teorema di Binèt. Matrici invertibili. Sistemi lineari. Teorema di Rouchè-Capelli.
Spazi vettoriali e sottospazi. Basi e dimensione. Somma e somma diretta di sottospazi. Relazione di Grasmann.
Applicazioni lineari e matrci associate. Nucleo ed immagine di una applicazione lineare. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Diagonalizzabiltà.
Prodotto scalare euclideo. Basi ortonormali. Matrici ortogonali ed isometrie. Classificazione delle isometrie nel piano e nello spazio.Teorema spettrale reale.
Triangolarizzazione di un endomorfismo.
Prodotti scalari e prodotti hermitiani. Teorema di Sylvester.
Teoria psettrale euclidea ed hermitiana: aggiunto di un endomorfismo, endomorfismi normali. Teorema spettrale complesso. Teorema di scomposizione polare di un automorfismo.
Definizione e proprietà fondamentali di coniche e quadriche. Riduzione a forma canonica.
Definizione di spazio affine e di affinità.
Definizione di spazio proiettivo. Applicazioni proiettive. Omografie.
Programma esteso
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Bibliografia
Marco Abate "GEOMETRIA" MacGraw-Hill
Metodi didattici
lezioni
Modalità verifica apprendimento
prova scritta e prova orale.
Altre informazioni
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