Obiettivi formativi
Gli obiettivi formativi del corso non si esauriscono nella semplice acquisizione di strumenti di calcolo, ma vogliono porre l'accento su una più profonda comprensione critica delle idee e del metodo di pensiero matematico. Al termine del corso lo studente dovrà quindi aver acquisito conoscenze e competenze di base di matematica avanzata, a partire dalla struttura dello spazio Euclideo per giungere al calcolo differenziale ed integrale per funzioni di variabile reale, ma allo stesso tempo sarà in grado di applicare tali conoscenze in modo critico a vari problemi concreti, in maniera solida, e di maneggiarle agevolmente in relazione ad altri ambiti del sapere. In particolare lo studente dovrà essere in grado di:
conoscere la teoria basilare dell'Algebra Lineare e della Geometria dello spazio ed applicarla allo manipolazione di vettori e matrici nello spazio Euclideo, al calcolo dei determinanti, alla risoluzione sistemi lineari e di semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio che in particolare riguardino piani e rette;
avere familiarità con la struttura degli insiemi dei numeri reali e dei numeri razionali e con concetti di base del calcolo integro-differenziale per funzioni di una variabile (limiti, derivate, integrali definiti ed indefiniti);
essere in grado di studiare in maniera qualitativa e non esplicita problemi quali il comportamento di una funzione per valori della variabile indipendente in un certo range; (conoscenze e capacità di comprendere)
attraverso gli esercizi svolti in aula relativamente agli argomenti del programma, apprendere come applicare le conoscenze astratte acquisite a semplici casi concreti e solo in un secondo momento essere in grado di collegare concetti diversi al fine di risolvere esercizi più complessi in maniera autonoma ed indipendente;
usare il metodo matematico per scomporre problemi complessi in sotto-problemi più facilmente attaccabili; (capacità di applicare conoscenza e comprensione)
valutare la coerenza e la correttezza dei risultati ottenuti ed analizzare le strategie risolutive adeguate per gli esercizi proposti; (autonomia di giudizio)
imparare ad utilizzare un linguaggio formalmente corretto che permetta di comunicare sia i contenuti del programma svolto che i passaggi logici utilizzati nella risoluzione degli esercizi con chiarezza di esposizione e di pensiero. Lezioni frontali e confronti diretti con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico ed appropriato; (capacità comunicative)
approfondire autonomamente le proprie conoscenze, partendo da quelle basilari fornite nel corso, al fine di poter gestire appropriatamente ed efficacemente l’uso di ulteriori strumenti e concetti matematici. Questi saranno importanti sia nei rimanenti insegnamenti del Corso di Laurea che in percorsi di formazione successivi. (capacità di apprendimento)
Prerequisiti
Non vi sono propedeuticità; è necessaria una certa familiarità con concetti matematici preuniversitari di base (operazioni, equazioni e disequazioni algebriche, proprietà delle potenze, trigonometria) che saranno tuttavia ripresi durante il corso.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente gli elementi matematici di base che gli permettano di affrontare con gli strumenti appropriati i successivi corsi di carattere tecnico/scientifico. In particolare si vuole presentare un’introduzione a diversi aspetti base dell'Algebra lineare, della Geometria degli spazi Euclidei e dell’Analisi matematica. La prima parte sarà impiegata per ripassare diversi concetti di matematica pre-universitaria ed introdurre i numeri reali, la struttura numerica su cui si basa il resto del corso. La seconda parte verterà su Geometria Euclidea nello spazio (coniche, vettori, rette e piani), matrici e sistemi lineari. Inoltre si studieranno, con particolare attenzione all’aspetto grafico, i sottospazi vettoriali di R^3 e le applicazioni lineari. La terza ed ultima parte vedrà introdotti i concetti base dell'Analisi Matematica, con particolare enfasi su funzioni continue e derivabili, studio qualitativo dei grafici e calcolo integrale.
Programma esteso
Parte introduttiva:
Richiami di teoria degli insiemi. Insiemi numerici con operazioni. Struttura di R: intervalli, minoranti, maggioranti, estremo inferiore e superiore. Funzioni: iniettività, suriettività, invertibilità; funzioni composte. Funzioni di variabile reale: monotonia; definizione e proprietà della funzione valore assoluto; disuguaglianza triangolare.
Parte di Geometria:
Piano cartesiano. Rette e coniche nel piano cartesiano.
Vettori nello spazio, coordinate. Operazioni tra vettori e prodotto scalare. Lunghezze, distanze, ortogonalità, proiezione di un vettore. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; disuguaglianza triangolare. Angolo fra vettori. Il prodotto vettoriale in R^3. Cenni alle analoghe proprietà nello spazio n-dimensionale R^n
Rette e piani. Ortogonalità fra rette e piani. Appartenenza. Parallelismo. Equazioni cartesiane di una retta. Rette sghembe; rette e piani ortogonali. Matrici e operazioni (somma e prodotto), con proprietà. Matrici invertibili e matrice inversa. Trasposta di una matrice. Il determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Rango per minori.
Sistemi lineari e matrici. Matrici e sistemi ridotti. Insieme delle soluzioni di un sistema ridotto. Risolubilità di sistemi lineari: Teorema di Rouché-Capelli e algoritmo di Gauss.
Sottospazi vettoriali (in R^n). Dimensione di un sottospazio. Combinazioni lineari e spazi generati. Lineare dipendenza e indipendenza. Sottospazi vettoriali di R^3.
Applicazioni lineari. Matrice associata; immagine e nucleo di un'applicazione lineare.
Parte di Analisi:
Estremo inferiore e superiore, massimo e minimo di una funzione.
Limiti di funzione: motivazione euristica, definizione rigorosa. Proprietà algebriche dei limiti: teoremi della somma, del prodotto e del rapporto. Forme indeterminate, limiti notevoli e gerarchia degli infiniti.Funzioni continue. Somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue. Teorema degli Zeri, del valor medio e di Weierstrass.
Derivata di una funzione, destra e sinistra. Rapporti tra continuità e derivabilità; esempi di funzioni non derivabili. Derivate delle funzioni elementari, mediante la definizione. Regole di derivazione. Ricerca dei punti di minimo e di massimo relativo: teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Legame tra la monotonìa di una funzione e il segno della sua derivata. Convessità di una funzione. Studi di funzione.
Nozione di primitiva di una funzione e definizione di integrale indefinito. Integrali elementari. Regole di sostituzione. Integrale definito. Teorema Fondamentale del calcolo integrale e legame con gli integrali indefiniti.
Bibliografia
Il materiale delle lezioni frontali sarà largamente sufficiente per affrontare l’esame con completo successo. Come complemento al corso, si consigliano i seguenti testi:
E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica preuniversitaria di base, Pitagora Editrice, Bologna.
L. Alessandrini, L. Nicolodi: Geometria A, Ed. Uninova, Parma.
A. Guerraggio: Matematica per le Scienze, Pearson Editore.
E. Acerbi, G. Buttazzo: Analisi Matematica ABC, Pitagora Editrice, Bologna.
Ognuno di essi tratta diverse parti del programma; si prega di contattare il docente per suggerimenti e consigli a riguardo.
Metodi didattici
Il corso consta di 8 CFU che corrispondono a 80 ore di lezione. La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale alla lavagna, in cui verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale alternandoli con esempi significativi, applicazioni ed esercizi. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando un rigoroso aspetto teorico non fine a sé stesso, ma rivolto ad una maggiore comprensione dei fenomeni in gioco. Al fine di favorire la comprensione sistematica, profonda e concreta degli argomenti del corso saranno distribuite, sul portale elly, dispense con esercizi da svolgere in parallelo allo studio degli argomenti teorici. Con cadenza settimanale sarà anche caricato il programma dettagliato degli argomenti svolti in aula, in supporto sia agli studenti frequentanti, sia a quelli non frequentanti. Tale programma andà infine a costituire l’indice dei contenuti in vista della preparazione all’esame finale.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avverrà attraverso una prova scritta. Per semplificare lo studio agli studenti, alla fine della parte di geometria si terrà un compito parziale il cui voto contribuirà, tramite media pesata, al voto definitivo dell'esame. La parte di analisi sarà verificata in un secondo parziale in corrispondenza degli appelli della sessione primaverile. Le prove parziali si intenderanno superate se lo studente avrà ottenuto un voto maggiore o uguale a 16.
Nelle prove scritte, attraverso gli esercizi proposti e semplici domande di teoria, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze teoriche e pratiche di base relative al corso.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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