Obiettivi formativi
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
Prerequisiti
Per seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra, Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B) e Geometria Differenziale (corsi Geometria 2A e 2B).
Contenuti dell'insegnamento
I gruppi di Lie sono degli oggetti fondamentali della Matematica e della Fisica. Il corso è una introduzione alla teoria dei gruppi di Lie matriciali e delle rispettive algebre di Lie. Nella prima parte del corso ci occuperemo delle nozioni di base e della discussione dei problemi fondamentali della teoria. Nella seconda parte del corso, illustreremo in dettaglio la struttura dei gruppi di Lie e le loro proprietà. Nella terza parte del corso, ci occuperemo della teoria delle algebre di Lie e delle loro rappresentazioni. I tre maggiori obiettivi del corso sono il teorema di Peter-Weyl, la formula dei caratteri di Weyl e il teorema di classificazione delle algebre di Lie semplici complesse.
Programma esteso
Fondamenti di Gruppi di Lie: prime proprietà; sottogruppi di Lie; rivestimenti e gruppo fondamentale; spazi omogenei; gruppi di Lie classici; campi vettoriali e forme differenziali invarianti.
Fondamenti di Algebre di Lie: mappa esponenziale; teoremi fondamentali della teoria di Lie; rappresentazioni di algebre di Lie; algebre universali; teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt; formula di Baker-Campbell-Hausdorff.
Algebre di Lie semisemplici: algebre di Lie risolubili e nilpotenti; teoremi di Lie e di Engel; algebre semisemplici e riduttive; criterio di Cartan; forma di Killing e decomposizione di Jordan; teorema di Whitehead e teorema di Weyl sulla completa riducibilità; struttura delle algebre di Lie semisemplici; sistemi di radici; gruppo di Weyl; classificazione delle rappresentazioni irriducibili; formula dei caratteri di Weyl.
Rappresentazioni di gruppi di Lie compatti: forme differenziali ed integrazione;
rappresentazioni unitarie di gruppi di Lie compatti; teorema di Peter-Weyl e applicazioni.
Bibliografia
Il riferimento principale è il libro di Brian Hall "Lie groups, Lie algebras, and Representations". Inoltre, un numero elevato di note sui gruppi di Lie e le algebre di Lie è disponibile gratuitamente online. In particolare, si segnalano le Lecture Notes di P. Etingof e di A. Kirillov, Jr:
[E] P. Etingof, Lie groups and Lie algebras
https://arxiv.org/abs/2201.09397
[K] A. Kirillov Jr., An Introduction to Lie groups and Lie algebras, Cambridge University Press.
Metodi didattici
Durante le lezioni, gli argomenti del corso verranno discussi in maniera formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. La frequenza delle lezioni è fortemente consigliata.
Modalità verifica apprendimento
L'esame è strutturato in due parti. La prima parte dell'esame consisterà nello svolgimento di 30 esercizi a scelta tra quelli assegnati durante il corso.
La prova orale consisterà in un seminario di approfondimento di circa 30 min,
L'esame è strutturato in due parti. La prima parte dell'esame consisterà nello svolgimento di 30 esercizi a scelta tra quelli assegnati durante il corso. La prova orale consisterà in un seminario di approfondimento di circa 30 min, corredato da una breve relazione, su un argomento concordato con il docente. Al termine della presentazione verrà richiesto allo studente di illustrare la soluzione di uno degli esercizi presentati.
Altre informazioni
I programmi dei corsi di Algebra Superiore 1 ed Algebra Superiore 2, per quanto indipendenti uno dall’altro, sono complementari e si integrano a vicenda. La frequenza di entrambi i corsi può quindi rivelarsi utile per un apprendimento ottimale ed è fortemente consigliata.
