Obiettivi formativi
Conoscenza di Serie e Trasformate come strumenti di applicazioni alla Fisica.
Prerequisiti
Matematica 2
Contenuti dell'insegnamento
Successioni e Serie di funzioni. Analisi Complessa. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Trasformata di Laplace.
Programma esteso
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza
uniforme. Criteri di Cauchy. Teorema di limitatezza. Teorema di scambio dei limiti (en). Teorema di continuità.
Teorema di integrabilità (en). Teorema di derivabilità.
Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta. Criteri del resto n-esimo. Criteri di Cauchy.
Condizioni necessarie di Cauchy. Convergenza totale. Criterio di Weierstrass. Teoremi di limitatezza, continuità.
Teoremi di integrabilità e derivabilità per serie.
NUMERI COMPLESSI. Forma cartesiana, polare, esponenziale.
Potenze e radici n-esime. Le funzioni elementari in campo complesso.
FUNZIONI OLOMORFE. Derivabilità di funzioni complesse di variabile complessa. Condizioni di
Cauchy-Riemann e loro significato geometrico e cinematico. Differenziabilità in senso reale ed in senso
complesso. Proprietà della derivata. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di De l’Hopital (en).
SERIE DI POTENZE. Raggio di convergenza. Derivabilità termine a termine. Serie di Taylor. Criterio di Abel.
Sviluppi di funzioni elementari. Funzioni analitiche reali.
SERIE DI FOURIER. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza in media quadratica.
Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Fischer-Riesz.
Integrali dipendenti da parametro (en).
INTEGRALI CURVILINEI. Curve di Jordan. Teorema di Cauchy. Formula di rappresentazione integrale di
Cauchy. Teorema del valor medio. Principio del massimo. Teorema fondamentale dell’algebra. Teorema
fondamentale del calcolo integrale. Formula di rappresentazione integrale per le derivate successive. Teorema di
Morera. Il limite uniforme di funzioni olomorfe è una funzione olomorfa. Teorema di Liouville. Principio di
identità delle funzioni olomorfe.
SERIE DI LAURENT. Metodo dei coefficienti indeterminati per il calcolo dei primi coefficienti della serie di
Laurent.
Singolarità isolate. Classificazione. Caratterizzazioni. Singolarità isolata all’infinito. Classificazione.
Singolarità non isolate.
RESIDUI. Residui al finito. Residuo all’infinito. Teorema dei residui. Calcolo pratico dei residui nei poli.
VALORE PRINCIPALE. Valore principale secondo Cauchy di integrali impropri e teorema di calcolo. Lemma
del grande cerchio. Lemma di Jordan. Applicazione al calcolo di trasformate di Fourier.
TRASFORMATA DI FOURIER.
TRASFORMATA DI LAPALCE.
Bibliografia
Barozzi-Matarasso, "Metodi Matematici per l'Ingegneria", ed. Zanichelli.
Pagani-Salsa, "Analisi Matematica II" ed. Masson.
Spiegel, "Variabile Complessa", collana Schaum's.
Metodi didattici
Lezioni frontali di teoria ed esercizi
Modalità verifica apprendimento
L'esame si articola in due prove, un ascritta e l'altra orale. Occorre superare la prima per accedere alla seconda.
Altre informazioni
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