Obiettivi formativi
Fornire gli strumenti e le idee di base del Calcolo Differenziale
Contenuti dell'insegnamento
Numeri naturali e numeri reali: estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di un insieme di numeri reali. La completezza dei numeri reali. Principio d'induzione. Coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton <br />
Proprieta' elementari delle funzioni reali. Funzioni circolari e loro inverse. Funzioni iperboliche e loro inverse. Grafici di funzioni elementari.<br />
Intorni, punti interni, punti di accumulazione, insiemi aperti, insiemi chiusi. <br />
Limiti: definizione, teorema di unicità del limite, limite delle restrizioni e limiti di successioni. Teorema del limite per successioni. Operazioni sui limiti. Teorema del confronto. Limite di funzioni monotone. Definizione del numero "e". Limiti fondamentali e applicazioni.<br />
Limiti di successioni: criterio della radice e del rapporto. Confronto dell'ordine di successioni tendenti ad infinito. Formula di Stirling <br />
Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di continuità della funzione inversa. Cenno alla continuità uniforme, condizione di Lipschitz. <br />
Calcolo differenziale: derivata, approssimazione lineare, retta tangente. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti di non derivabilità. Derivate successive. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Intervalli di monotonia di una funzione. Teorema di De L'Hopital. Convessità e condizioni equivalenti.<br />
Confronto locale tra funzioni: i simboli di Landau. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Sviluppi delle funzioni elementari, sviluppi del prodotto e della composizione.<br />
Integrale indefinito. Integrazione per sostituzione e integrazione per parti. Integrazione delle funzioni razionali.<br />
Integrali definito: Integrazione secondo Riemann. Area di regioni piane. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione.<br />
Equazioni differenziali: Generalità, integrale generale, problema di Cauchy. Risoluzione delle equazioni a variabili separabili e delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.<br />
Integrali impropri. Teorema del confronto e del confronto asintotico.<br />
Serie numeriche. Serie geometrica, serie telescopiche, serie a termini positivi. Convergenza assoluta. Confronto tra serie ed integrali impropri. Serie armoniche. Serie di Taylor. Criteri di confronto e di confronto asintotico. Criteri del rapporto e della radice per serie a termini positivi. Serie a segni alterni. .
Bibliografia
C. Canuto - A. Tabacco, Analisi matematica I, Springer Italia <br />
M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
