Obiettivi formativi
Il corso intende fornire le basi matematiche indispensabili per un corso di laurea scientifico. <br />
Contenuti dell'insegnamento
Nozioni Preliminari <br />
Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero–Venn. <br />
Proposizioni e valori di verità. Connettivi e quantificatori. <br />
Prodotto cartesiano di due o piú insiemi. <br />
Insiemi numerici. Polinomi. Equazioni e disequazioni <br />
Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali. <br />
Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri. Valore assoluto. Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni. Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. <br />
Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali. <br />
Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione. <br />
Geometria della retta e del piano. <br />
Numeri reali e geometria della retta. <br />
Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano. <br />
Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma canonica). Condizioni di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta. <br />
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Funzioni <br />
Definizioni e proprietà. Dominio, codominio, immagine. Immagine inversa. Grafico di una funzione. <br />
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato y = xa, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria. Funzioni polinomiali. <br />
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Funzione inversa. <br />
Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Monotonia delle potenze. <br />
Potenze a esponente razionale. <br />
Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i casi a > 1 ed aÎ (0,1). La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Cambiamenti di base. Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo. <br />
Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni circolari elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche. <br />
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Limiti di funzioni e Funzioni Continue <br />
Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio. <br />
Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass. <br />
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Successioni <br />
Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Applicazioni in dinamica di popolazione. <br />
Definizione di limite per una successione. Studio di successioni monotòne. Operazioni con i limiti. Limite di alcune particolari successioni. <br />
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Calcolo differenziale e Studi di Funzione <br />
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy). <br />
Segno della derivata e monotonia. <br />
Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e punti di flesso. <br />
Teorema di de l'Hôpital. Applicazione al calcolo dei limiti. <br />
Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teorema di Taylor e formula di Taylor con resto. <br />
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Calcolo Integrale <br />
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità. <br />
Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue. <br />
Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media. <br />
Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: sostituzione, parti. <br />
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Bibliografia
Per il recupero delle nozioni di base indispensabili per affrontare un corso di matematica a livello universitario sono caldamente consigliati i testi: <br />
- Roberto D'Ercole, Matematica per i precorsi, Pearson Education. <br />
- Giuseppe De Marco, Analisi Zero, Decibel–Zanichelli. <br />
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Libri di testo consigliati per il corso (in ordine crescente di difficoltà) <br />
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- P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo, Liguori. <br />
- M. Bertsch, Istituzioni di Matematica, Bollati Boringhieri. <br />
- M. Abate, Matematica e Statistica (Le basi per le scienze della vita), McGraw-Hill <br />
(Questo libro è senza dubbio molto completo, ma contiene anche molti argomenti e applicazioni che non verranno trattati in questo corso) <br />
- M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill <br />
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Eserciziario: <br />
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Alessandro Zaccagnini & Maria Gabriella Rinaldi, Esercizi per i corsi di Istituzioni di Matematica, Azzali Editori, Parma, quarta edizione. <br />
