Obiettivi formativi
Fornire gli elementi di base della teoria dei sistemi lineari.
Prerequisiti
Fondamenti di controlli automatici.
Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
Ripasso di algebra lineare.
Descrizione dei sistemi tramite modelli di stato.
Evoluzione libera ed evoluzione totale dei sistemi a tempo continuo e discreto.
Controllabilità e osservabilità per sistemi a tempo continuo e discreto.
Stabilizzazione con retroazione dello stato.
Osservatore asintotico dello stato.
Elementi di controllo ottimo e stima ottima di Kalman.
Programma esteso
1) Cenni di modellistica dei sistemi lineari.
2)Ripasso di algebra lineare.
-Spazi vettoriali, sottospazi vettoriali, trasformazioni lineari, determinante, autovalori e autovettori.
-Autovalori e autovettori generalizzati, teorema di decomposizione primaria, teorema di Hamilton-Cayley.
3) Sistemi a tempo continuo.
-Matrice fondamentale del sistema e sue proprietà.
-Esponenziale di matrice: definizione e calcolo.
-Modi di un sistema.
-Evoluzione totale.
-Risposta all'impulso e funzione di trasferimento.
4) Sistemi a tempo discreto.
-Matrice fondamentale del sistema e sue proprietà.
-Calcolo della potenza di matrice.
-Evoluzione totale.
-Risposta all'impulso e funzione di trasferimento.
-Campionamento dei sistemi a tempo continuo.
5) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo discreto.
-Definizioni.
-Matrice di raggiungibilità.
-Proprietà.
6) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo continuo.
-Definizioni.
-Gramiano di raggiungibilità.
-Proprietà.
-Forma standard per i sistemi non completamente raggiungibili.
-Test PBH.
7) Osservabilità e riscostruibilità per i sistemi a tempo discreto.
-Definizioni.
-Matrice di osservabilità.
-Proprietà.
8) Osservabilità e riscostruibilità per i sistemi a tempo continuo.
-Definizioni.
-Gramiano di osservabilità.
-Proprietà.
-Forma standard per i sistemi non completamente osservabili.
9) Scomposizione di Kalman.
10) Stabilità.
-Stati di equilibrio.
-Stabilità semplice ed asintotica.
-Stabilità BIBO.
11) Stabilizzazione con retroazione stato-ingresso.
-Definizione di coppia stabilizzabile.
-Forma compagna e sue proprietà.
-Forma canonica di controllo.
-Formula di Ackermann.
-Assegnazione autovalori per i sistemi con più di un ingresso.
-Teorema di assegnazione dei poli.
12) Osservatori.
-Osservatore ad anello aperto.
-Osservatore di Luenberger.
-Definizione di coppia rilevabile.
-Sistema duale.
-Condizione per la rilevabilità.
-Principio di separazione.
13) Controllo Ottimo.
-Equazione di Riccati.
-Matrice Hamiltoniana.
-Condizione per l'esistenza della soluzione dell'equazione di Riccati.
13) Filtro di Kalman
-Richiami di teoria delle variabili casuali e dei processi stocastici.
-Evoluzione di sistemi lineari affetti da rumore bianco gaussiano.
-Equazione di Riccati per la sintesi dell'osservatore ottimo di Kalman.
Bibliografia
Testo di consultazione:
-A Linear Systems Primer, autori: Antsaklis, Michel, Editore: Birkhauser
Metodi didattici
Lezioni alla lavagna
Modalità verifica apprendimento
Esame scritto e orale.
Altre informazioni
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