Obiettivi formativi
Il corso ha l'obiettivo di far comprendere agli studenti i concetti fondamentali dell'analisi matematica e di far acquisire una buona padronanza delle tecniche di calcolo.
Prerequisiti
Abilità nella trattazione di espressioni numeriche e nella risoluzione di equazioni e disequazioni numeriche.
Contenuti dell'insegnamento
Nozioni base di logica matematica e di teria degli insiemi. I numeri reali. Funzioni reli di variabile reale : proprietà, limiti, continuità, integrabilità. Cenno ad equazioni differenziali. Cenno a metodi statistici.
Programma esteso
1. Elementi di teoria degli insiemi e di calcolo proposizionale; operazioni fra insiemi, connettivi logici; costanti e variabili, proposizioni e predicati.
2. Insiemi numerici: N, Z, Q, R. Operazioni algebriche, ordinamento, maggioranti, minoranti, estremi superiore ed inferiore, massimo e minimo. Completezza di R. Intervalli di R, intorni. Funzioni reali e proprietà:limitatezza, monotonia, periodicità, simmetrie. Coordinate cartesiane e polari nel piano; grafici. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche.
3. Limiti di funzioni di variabile reale, limite destro e sinistro, teoremi fondamentali sui limiti; teoremi di confronto; limiti di funzioni composte; limiti notevoli. Operazioni coi limiti e forme indeterminate. Continuità delle funzioni e proprietà: permanenza del segno, continuità della funzione composta. Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass. Funzioni invertibili e continuità dell'inversa di una funzione continua.
4. Calcolo differenziale: derivazione, regole di derivazione, proprietà delle funzioni derivabili. Estremi relativi, teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e conseguenze. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive e formula di Taylor. Studio di funzione: crescenza, decrescenza, concavità, convessità, asintoti e grafico. Applicazioni alla ricerca degli estremi e allo studio dei grafici di funzioni.
5. Calcolo integrale. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; definizione dell'integrale. Proprietà dell'integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo. Teorema della media. Calcolo di integrali definiti. Integrale indefinito, primitive, secondo teorema fondamentale del calcolo. Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita. Integrali impropri e relativi criteri di convergenza.
6. Nozione di equazione differenziale. Integrazione di alcune equazioni differenziali: 1) equazioni lineari del primo ordine in forma normale 2) equazioni a variabili separabili 3) equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
7. Elementi di Statistica : Media aritmetica, varianza, deviazione standard. Il metodo dei minimi quadrati. Il coefficiente di correlazione. Per questa parte si fa riferimento al testo di Marcellini-Sbordone alle pagine 687-697. Non sono richieste le dimostrazioni.
8. Complementi: a) Matrici e determinanti b) Coniche c) Numeri complessi.
Bibliografia
P. Marcellini, C.Sbordone, "Calcolo", Ed. Liguori.
P. Marcellini, C. Sbordone, "Esercitazioni di matematica" Ed. Liguori.
Marco Abate, "Matematica e Statistica - Le basi per le scienze della vita", McGraw-Hill
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta seguita da prova orale.
