Obiettivi formativi
CONOSCENZA DI BASE DELL'ALGEBRA LINEARE E DELLA GEOMETRIA.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e
intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza
lineare. Generatori, basi e dimensione di una spazio vettoriale. Formula di
Grassmann.
2. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprietà
fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su
matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss e teorema di Rouché Capelli.
4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema
fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una
applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e
applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e
autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di
un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite
matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici
simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari.
Cenni al caso complesso.
7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e
cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe.
Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto
vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da
una retta.
Programma esteso
mentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su
matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss e teorema di Rouché Capelli.
4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema
fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una
applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e
applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e
autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di
un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite
matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici
simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari.
Cenni al caso complesso.
7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e
cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe.
Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto
vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da
una retta.
Bibliografia
ALESSANDRINI, L., NICOLODI, L., GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE, CON ESERCIZI SVOLTI, ED. UNINOVA (PR) 2012.
Metodi didattici
LEZIONI.
Modalità verifica apprendimento
ESAMI SCRITTI E ORALI.
Altre informazioni
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