Obiettivi formativi
L'obbiettivo del corso è quello di fornire agli studenti le ferramenta di algebra lineare e le tecniche per risolvere sistemi lineari
Prerequisiti
nessuno
Contenuti dell'insegnamento
geometria e algebra lineare
Programma esteso
Geometria euclida e prodotto vettoriale. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni
parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due
rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare
canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprietà fondamentali.
Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori:
dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di
una spazio vettoriale. Formula di Grassmann.
Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e
proprietà fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di
riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di
una matrice.
Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouché
Capelli.
Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine;
teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata
ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base.
Isomorfismi e applicazioni inverse.
Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e
autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e
geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio.
Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione
di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale.
Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale.
Criterio di positività per prodotti scalari. Cenni al caso complesso.
Bibliografia
abate-De Fabritiis
"Geometria e algebra lineare"
Metodi didattici
lezioni ed esercitazione
Modalità verifica apprendimento
esame scritto e orale
Altre informazioni
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