Obiettivi formativi
Il corso ha come oggetto l'introduzione dei concetti fondamentali e dei principali risultati di topologia generale e della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
In particolare,
1) le nozioni di spazio topologico, di sottospazio, di topologia prodotto e quoziente, di spazio compatto, connesso e connesso per archi, di spazio metrico, di gruppo topologico saranno introdotte;
2) le prime proprieta' elementari delle funzioni olomorfe di una variabile complessa, quali ad esempio le condizioni di Cauchy-Riemann, il Teorema e la Formula di Cauchy, il principio del prolungamento analitico, le serie di Laurent e la Teoria dei Residui saranno introdotti.
Prerequisiti
Geometria 1, Analisi 1, Algebra.
Contenuti dell'insegnamento
Topologia e variabile complessa
Programma esteso
Spazi topologici. Spazi metrici. Applicazioni continue, omeomorfismi. Chiusura, parte interna, frontiera. Basi di aperti, sistema fondamentale di intorni, assiomi di numerabilita'. Sottospazi. Topologia prodotto. Topologia quoziente. Assiomi di separazione. Quasi compatteza e compatteza. Connessione e connessione per archi. Spazi localmente connessi. Spazi metrici completi. Estensioni di funzioni continue. Metrica della convergenza uniforme. Gruppi topologici. Gruppi di matrici.
Funzioni olomorfe di una variabile complessa. Le condizioni di Cauchy-Riemann. Il Teorema di Cauchy. La formula di Cauchy. Disuguaglianze di Cauchy. Serie di potenze. Analiticita' delle funzioni olomorfe. Il teorema di Liouville. Il teorema fondamentale dell'algebra. Sviluppo in serie di Laurent. Il teorema dei residui.
Bibliografia
H. Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications, Inc., New York, 1995. 228 pp., V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di topologia generale, ed. - Milano, Feltrinelli, 1977. 242 pp.
R. V. Churchill, Introduction to Complex Variables and Applications, McGraw- Hill Book Company, Inc., New York, 1948. vi+216 pp., E. Sernesi, Geometria 2, Torino Bollati Boringhieri, 1994. V. Villani, Elementi di topologia generale
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta e prova orale
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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