Vai al contenuto principale Vai al footer
Università degli Studi di Parma Università degli Studi di Parma
Laurea magistrale in
Matematica
Università degli Studi di Parma
Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche e Informatiche

ANALISI SUPERIORE 1
cod. 19052

Anno accademico 2011/12
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Analisi matematica (MAT/05)
Field
Formazione teorica avanzata
Tipologia attività formativa
Caratterizzante
72 ore
di attività frontali
9 crediti
sede: PARMA
insegnamento
in - - -
orari del corso non disponibili
appelli d'esame
Stampa

Obiettivi formativi

Il corso si prefigge lo scopo di fornire agli studenti una panoramica sugli spazi di Sobolev e dare applicazioni allo studio di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico.

Prerequisiti

- - -

Contenuti dell'insegnamento

1. Cenni sugli spazi L^p.
Definizioni e proprietà elementari. Completezza di L^p.
Convoluzioni e regolarizzazioni. Il teorema di Young. Teoremi di densità.
Criterio di compattezza forte in L^p.

2. Gli spazi di Sobolev.
Una prima motivazione allo studio degli spazi di Sobolev.
Definizione di derivata debole e confronto con il concetto di derivata distribuzionale.
Prime proprietà degli spazi di Sobolev.
Il teorema di Friedrichs. Caratterizzazione degli spazi W^{1,p}(A).
Formula di derivazione del prodotto di funzioni e del prodotto di composizione.
Approssimazione con funzioni regolari in R^N.
Approssimazione con funzioni regolari in A. Operatori di prolungamento.
Convoluzioni e spazi W^{1,p}(A). Teoremi di densità.
Gli spazi di Sobolev W^{m,p}(A) (m>1 e intero).
Il concetto di supporto di una funzione di L^1_{loc}(A).
Lo spazio W_0^{m,p}(A). Disuguaglianze di Sobolev e teoremi di immersione.
Disuguaglianza di Poincaré. Il concetto di traccia di una funzione negli spazi di Sobolev.

3. Alcuni problemi ai limiti.
Soluzione debole, regolarità e legami con la soluzione classica.
Formulazione variazionale di alcuni problemi ai limiti ellittici.
Il teorema di Lax e Milgram. Regolarità della soluzione debole.

4. Operatori compatti.

Programma esteso

- - -

Bibliografia

R.A. Adams, Sobolev spaces, ACADEMIC PRESS, New York, S. Francisco, London, 1975;
H. Brezis, Analisi funzionale, LIGUORI;
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd Edition, SPRINGER-VERLAG, New York, 1983.

Metodi didattici

Lezioni frontali

Modalità verifica apprendimento

Esame orale

Altre informazioni

- - -