Obiettivi formativi
Acquisizione dei concetti fondamentali del calcolo per funzioni di piu' variabili e capacita' di risolvere problemi elementari in questo campo.
Prerequisiti
Analisi Matematica 1, Geometria 1
Contenuti dell'insegnamento
I contenuti del corso sono gli elementi di base della teoria delle funzioni di piu' variabili reali.
Programma esteso
Programma del primo semestre.
Spazi normati e spazi metrici. Norme, equivalenza di norme, spazi di Banach, distanze, teorema delle contrazioni.
Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili reali.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili: derivate direzionali e loro interpretazione geometrica, derivate parziali, differenziale, teorema del differenziale totale, regole di differenziazione, gradiente, piano tangente e interpretazione geometrica, derivate successive, teorema di Schwarz, formula di Taylor, forme quadratiche, criterio di positivita', massimi e minimi relativi.
Curve regolari, regolari a tratti, semplici, equivalenti, cammini, versore tangente a un cammino regolare, lunghezza delle curve, parametro lunghezza d'arco, integrale di una funzione su un cammino.
Teorema del Dini, teorema della funzione inversa, superfici regolari in R^3, parametrizzazioni, versore normale, superfici equivalenti, varieta' m-dimensionali di classe C^k e loro rappresentazioni, teorema dei moltiplicatori.
Forme differenziali lineari, integrali di forme differenziali su cammini orientati regolari a tratti, forme esatte, condizioni necessarie e sufficienti per l'esattezza, esattezza di forme definite su aperti stellati, cenni sulla semplice connessione, esattezza di forme definite su aperti semplicemente connessi.
Programma del secondo semestre.
Successioni e serie di funzioni: Convergenza puntuale, convergenza uniforme, criterio di Cauchy, teorema di scambio dei limiti per una successione convergente uniformemente, rapporti fra convergenza e continuita', derivabilita', integrabilita', completezza di spazi di funzioni continue e di funzioni limitate, teorema di Ascoli-Arzela', polinomi di Bernstein, densita' dei polinomi in C([a,b]), serie di funzioni, convergenza totale, serie di potenze,raggio di convergenza, teorema di Cauchy-Hadamard, teorema di Abel, polinomi trigonometrici, approssimazione di una funzione con polinomi trigonometrici, coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, convergenza puntuale e totale delle serie di Fourier, integrazione delle serie di Fourier.
Equazioni differenziali: Forma normale, sistemi, problema di Cauchy, teorema di Cauchy-Lipschitz, lemma di Gronwall, condizioni sufficienti per l'esistenza globale, metodo di separazione delle variabili, studio qualitativo delle soluzioni, teorema di confronto, sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma normale, soluzioni linearmente indipendenti di sistemi omogenei, operatore di evoluzione, metodo di variazione delle costanti, equazioni lineari di ordine n e sistema associato, polinomi caratteristici di equazioni a coefficienti costanti, soluzione generale, esponenziale di una matrice.
Integrali: Teoria della misura di Peano-Jordan in R^n e integrali multipli, teorema di riduzione degli integrali, teorema di cambiamento di variabile.
Bibliografia
G. Prodi: Lezioni di Analisi Matematica II. ETS Pisa (1974).
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli (2009).
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi matematica due. Liguori (1996).
