ANALISI SUPERIORE 1
cod. 19052

Anno accademico 2018/19
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Analisi matematica (MAT/05)
Ambito
Formazione teorica avanzata
Tipologia attività formativa
Caratterizzante
72 ore
di attività frontali
9 crediti
sede: PARMA
insegnamento
in ITALIANO

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacità di comprendere:
Al termine del corso lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative
agli elementi di base della teoria degli spazi di Sobolev, degli operatori compatti in spazi normati, e della formulazione variazionale delle equazioni differenziali ellittiche.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Attraverso gli esercizi svolti in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi espliciti.

Autonomia di giudizio:
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.

Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito degli argomenti del corso, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado
di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni.

Prerequisiti

Calcolo differenziale per funzioni di una e piu' variabili reali. Algebra lineare. Topologia.
Teoria della misura ed integrazione secondo Lebesgue. Elementi di base di analisi funzionale lineare.

Contenuti dell'insegnamento

Il corso fornisce una panoramica sugli spazi di Sobolev e sugli operatori compatti, con applicazioni allo studio delle equazioni alle derivate parziali lineari ellittiche del secondo ordine con condizioni al bordo.

Programma esteso

Richiami sugli spazi L^p.
Derivate deboli e spazi W^{k,p}.
Caratterizzazioni degli spazi W^{k,p} e loro proprietà: immersioni, prodotti, composizioni, invarianza locale per diffeomorfismi. Il concetto di traccia al bordo. Spazi W^{1,p}_0 e disuguaglianze di Poincaré. Cenni sulla classificazione degli operatori differenziali lineari del secondo ordine. Formulazione variazionale di problemi ellittici con condizioni al bordo. Il lemma di Lax-Milgram. Regolarizzazione delle soluzioni deboli di equazioni differenziali ellittiche. Equazioni ellittiche in L^p e negli spazi di funzioni holderiane limitate (cenni).
Operatori compatti. Spettro e risolvente di operatori lineari.
Il teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti in spazi di Hilbert.

Bibliografia

H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer Verlag 2011.
L.C. Evans, Partial differential equations, 2nd Edition, American Mathematical Society 2010.
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 2nd Edition, Springer Verlag 1983.
L.C. Evans, Partial differential equations, 2nd Edition, American Mathematical Society 2010.
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 2nd Edition, Springer Verlag 1983.

Metodi didattici

Lezioni frontali e esercizi assegnati, svolti dagli studenti e poi discussi in aula. Delle sei ore settimanali a disposizione, quattro saranno di lezioni frontali e due dedicate agli esercizi.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso
una prova orale in cui verrà valutata
la conoscenza e la padronanza dei risultati presentati nel corso, le loro dimostrazioni, e la capacità di risolvere semplici problemi nell'ambito della teoria svolta.

Altre informazioni

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