Obiettivi formativi
Insegnare i metodi classici del Calcolo delle Variazioni a dare allo stesso tempo un "assaggio" degli sviluppi più recenti di questa importante branca dell'Analisi Matematica.
Prerequisiti
Teoria della Misura e gli argomenti di base di Analisi funzionale.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso è un'introduzione al Calcolo delle Variazioni in una e più dimensioni.
Gli argomenti principali sono i seguenti:
Parte I: Calcolo delle Variazioni in una dimensione
- Motivazioni e presentazione di alcuni problemi classici
-Condizioni necessarie di minimalità: equazioni di Eulero-Lagrange
-Condizioni sufficienti di minimalità: Teoria dei campi di Weierstrass
-Applicazioni ad alcuni problemi classici: il problema della brachistocrona; il problema delle superfici minime di rotazione.
Parte II: Calcolo delle Variazioni in più dimensioni
- il Metodo Diretto
- la convessità quale condizioni necessaria per la semicontinuità debole
-condizioni sufficienti per la semicontinuità dei funzionali integrali: il teorema di Ioffe
- Applicazioni all'esistenza per via variazionale di soluzioni di EDP
-cenni di Calcolo delle Variazioni vettoriale
- Il problema della regolarità e il Teorema di De Giorgi-Nash
Parte III: Il problema isoperimetrico
-Alcune dimostrazioni elementari in dimensione 2
- Introduzione agli insiemi di perimetro finito e la dimostrazione di De Giorgi della proprietà isoperimetrica della sfera
Programma esteso
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Bibliografia
Non ci saranno testi di riferimento precisi
Metodi didattici
Lezioni frontali
Modalità verifica apprendimento
Esame orale
Altre informazioni
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