GEOMETRIA DIFFERENZIALE
cod. 00474

Anno accademico 2013/14
1° anno di corso - Secondo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Geometria (MAT/03)
Field
A scelta dello studente
Tipologia attività formativa
A scelta dello studente
48 ore
di attività frontali
6 crediti
sede: PARMA
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

L'obbiettivo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti di base della geometria differenziale con particolare interesse alla geometria Riemanniana ed alle relazioni che esistono fra teoria locale e teoria globale.

Gli studenti dovranno dimostrare conoscenze e capacità di comprensione in un campo di studi caratterizzato dall’uso di libri di testo avanzati e articoli scientifici e di possedere l'abilità di reperire e usare dati per formulare risposte a problemi ben definiti. Inoltre, dovranno dimostrare che abbiano sviluppato quelle capacità di apprendimento che consentano loro di continuare a studiare per lo più in modo auto-diretto o autonomo.

Prerequisiti

teoria delle curve e superfici

Contenuti dell'insegnamento

La prima parte delle lezioni riguardano fatti generali di geometria differenziale e di geometria Riemanniana

La secondo parte del corso è rivolta alla teoria locale delle varietà Riemanniane con particolare interesse all'esistenza di geodetiche fra due punti e geodetiche chiuse.

La terza parte del corso prevalentemente metter in relazione la teoria locale con la teoria globale, ovvero la topologia della varietà in questione.

Programma esteso

Metrica Riemanniana, distanza Riemanniana, gruppo di isometrie, azioni propriamente discontinue, sommersioni Riemanniane, integrale e forma volume

Connessione affine e connessione di Levi-Cività, trasporto parallelo, geodetiche, prima formula di variazione, lemma di Gauss, intorni convessi.

Curvatura, curvatura sezionale, curvatura di ricci, curvatura scalare, Laplaciano Riemanniano, campi di Killing, forme armoniche, Teorema di Hodge, tecniche di Bochner

Campi di Jacobi, punti coniugati, immersioni Riemanniane, punti focali.

Teorema di Hopf-Rinof, Teorema di Hadamard.

Varietà con curvatura sezionale costante, Teorema di Cartan, classificazione delle varietà complete con curvatura sezionale costante.

Varietà omogenee, formule di O'Neil, cenni sugli spazi simmetrici

Seconda formula di variazione, Teorema di Bonnet-Meyer, Teorema di Weinstein-Synge.

Lemma dell'indice (focale), Teorema di comparazione di Rauch, Teorema di comparazione di Berger-Rauch e corollari.

Teorema dell'indice di Morse, punti di taglio.

Esistenza di geodetiche chiuse e Teorema di Preissman.

Bibliografia

Manfredo do carmo, Riemannian Geometry, Birkauser

Cheeger-Ebin ''Comparison theorems in Riemannian geometry, North-Holland

Chavel, Riemannian Geometry: A modern introduction, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1984.

Sakai, Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs vol. 149.

Metodi didattici

Durante le lezioni verranno sviluppati tutti gli argomenti del programma. Durante il corso saranno effettiate delle esercitazioni che hanno lo scopo di fornire a ciascun studente soluzioni a problemi che saranno posti sempre durante le lezioni

Modalità verifica apprendimento

L’esame consiste in un colloquio orale alla fine del corso, in cui
si valuta il livello di conoscenza e comprensione acquisito sui temi dell'
insegnamento e la capacità dello studente di esporlo ad altri.

Altre informazioni

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