Obiettivi formativi
Conoscenze: il corso ha lo scopo di fornire gli strumenti matematici utili per lo studio qualitativo di modelli differenziali.
Capacità di comprensione: viene curata l’acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, viene stimolata la capacità di esprimere contenuti in modo chiaro e lineare, vengono sottolineati i collegamenti tra le diverse parti del corso.
Al termine del corso, lo studente sarà in grado di applicare autonomamente gli strumenti acquisiti alla formulazione e allo studio di semplici modelli applicativi.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso intende fornire un'introduzione alla modellistica matematica
mediante equazioni differenziali. Nella prima parte del corso si presenta la teoria della stabilità di Liapunov per sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine; si prosegue poi con l’analisi qualitativa di modelli matematici della Meccanica, della Dinamica di Popolazioni, dell' Epidemiologia. Infine si introduce la teoria delle biforcazioni e si arriva a studiare fenomeni di caos deterministico in sistemi differenziali continui (modello di Lorenz) e discreti (mappa di Feigenbaum).
Nella seconda parte del corso si presentano le equazioni differenziali del secondo ordine (a cui appartengono le classiche equazioni della Fisica Matematica) e si affrontano le questioni relative a esistenza e unicità delle soluzioni.
Programma esteso
PRIMA PARTE
Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di
stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni
stazionarie.
Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.
Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-
Volterra, i modelli preda-predatore, il modello epidemiologico.
Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.
Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.
Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani.
Il caos deterministico: il sistema di Lorenz.
Sistemi dinamici discreti: mappa di Feigenbaum; biforcazioni di periodo doppio.
SECONDA PARTE
Problemi di Sturm Liouville. Autovalori ed autofunzioni.
Introduzione alla teoria delle distribuzioni.
Problemi al contorno non omogenei e funzione di Green.
Classificazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali lineari
del secondo ordine. Problemi di Cauchy.
Equazioni differenziali alle derivate parziali quasi lineari del primo ordine;
risoluzione con il metodo delle caratteristiche.
Bibliografia
G.L. CARAFFINI, M. IORI, G. SPIGA, Proprietà elementari dei sistemi
dinamici, Appunti per il corso di Meccanica Razionale, UNIVERSITA' DEGLI
STUDI DI PARMA, a.a 1998-99;
G. BORGIOLI, Modelli Matematici di evoluzione ed equazioni differenziali,
Quaderni di Matematica per le Scienze Applicate/2, CELID, TORINO, 1996;
R. RIGANTI, Biforcazioni e Caos nei modelli matematici delle Scienze
applicate, LEVROTTO & BELLA TORINO, 2000;
M.W HIRSCH, S. SMALE, Differential Equations, Dynamical Systems and
Linear Algebra, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1974;
J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems
and Bifurcations of Vectors Fields, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1983;
M. SQUASSINA, S. ZUCCHER, Introduzione all'analisi qualitativa delle
equazioni differenziali ordinarie (ebook), APOGEO, 2008.
G.SPIGA, Problemi matematici della Fisica e dell'Ingegneria, PITAGORA,
Bologna;
A.N.TICHONOV, A.A. SAMARSKIJ, , Equazioni della Fisica Matematica, MIR,
Mosca;
F.G.TRICOMI,Equazioni differenziali,EINAUDI, Torino;
F.G.TRICOMI, Istituzioni di Analisi Superiore, CEDAM,Padova.
Metodi didattici
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale. Durante il corso verranno proposti e risolti numerosi esercizi, e verranno svolte alcune esercitazioni in aula di informatica, dove verranno simulati in ambiente Matlab alcuni dei modelli presentati a lezione.
Modalità verifica apprendimento
Le conoscenze acquisite e la capacità di comprensione dei concetti trattati verranno verificati attraverso un esame orale e la valutazione di un elaborato autonomo presentato dallo studente, riguardante lo studio qualitativo di un semplice modello matematico con simulazioni in ambiente Matlab.
Il superamento dell’esame è subordinato alla verifica delle seguenti competenze:
acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, capacità di risolvere semplici esercizi, capacità di comprendere e utilizzare modelli matematici, elaborazione di collegamenti tra le diverse parti del corso.
