Obiettivi formativi
Conoscenza ed acquisizione degli aspetti metodologici e degli strumenti del Calcolo Differenziale ed Integrale per funzioni di più variabili reali necessari alla comprensione delle nozioni e degli strumenti delle discipline tecnico—applicative di base al fine di una loro utilizzazione per l’interpretazione e la descrizione dei problemi dell’Ingegneria Meccanica.
Prerequisiti
Analisi Matematica AB
Contenuti dell'insegnamento
<p>Curve piane. <br />
Parametrizzazioni, sostegno, vettore derivato, velocità scalare, vettore tangente e normale, retta tangente e normale. Curve di classe C1, C1 a tratti e regolari. Lunghezza di una curva. <br />
Parametrizzazioni del bordo di sottinsiemi del piano. <br />
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Funzioni di due variabili <br />
Grafico, sezioni e curve di livello. Paraboloidi, coni, superfici sferiche ed ellittiche. Funzioni dipendenti da una sola variabile e funzioni radiali. <br />
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Limiti e continuità per funzioni di due variabili reali. Elementi di topologia: punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi; aperti connessi. Limiti per funzioni di due variabili reali e loro proprietà. Funzioni continue di due variabili reali e loro proprietà. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri.</p>
<p>Calcolo differenziale per funzioni di due variabili reali. <br />
Derivate direzionali e parziali. Funzioni di classe C1 e loro proprietà. Gradiente e suo significato. <br />
Funzioni differenziabili. Piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione. Massima pendenza. Derivata della composizione di funzioni.<br />
Punti stazionari. Funzioni di classe C2 e matrice Hessiana. Condizioni necessarie e sufficienti sugli estremi locali. Ottimizzazione di funzioni di classe C2. <br />
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Equazioni differenziali ordinarie. <br />
Modelli dalla fisica: crescita di popolazione, molla con attrito, caduta di un grave, circuito elettrico con resistenza e induttanza. <br />
E.d.o. lineari del primo ordine. Problema di Cauchy. <br />
E.d.o. lineari di ordine n a coefficienti costanti. Integrale generale di equazioni omogenee. Metodo diretto per il calcolo di un integrale particolare di equazioni complete. Problema di Cauchy. <br />
Il metodo di variazione delle costanti per le equazioni del secondo ordine. La soluzione particolare dell’equazione completa vista come integrale di convoluzione. <br />
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<p>Curve nello spazio, integrali curvilinei, funzioni vettoriali <br />
Curve nello spazio. Integrale curvilineo di funzioni su curve nel piano e nello spazio. Proprietà e applicazioni. Funzioni a valori vettoriali. Matrice Jacobiana. <br />
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<p>Calcolo integrale per funzioni di due variabili reali. <br />
Costruzione dell’integrale doppio. Funzioni di due variabili integrabili. Significato geometrico. Domini normali nel piano. Formule di riduzione degli integrali doppi su domini normali. Integrali di funzioni simmetriche su domini simmetrici. Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Trasformazioni regolari. Coordinate polari. <br />
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<p>Calcolo integrale per funzioni di tre variabili reali. <br />
Costruzione dell’integrale triplo. Domini normali nello spazio tridimensionale. Formule di riduzione degli integrali tripli: integrazione per strati e per fili. <br />
Teorema di cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate sferiche e cilindriche. <br />
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Programma esteso
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Bibliografia
M. Belloni, L. Lorenzi: Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili: complementi ed esercizi, Pitagora editrice, Bologna (2008)<br />
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N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore, Napoli (2001).
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Metodi didattici
<p>Sono previste lezioni frontali ed esercitazioni, le quali costituiscono parte integrante del corso. </p>
<p>Il metodo di valutazione e' basato su due prove scritte (la prima costituita da esercizi sugli argomenti trattati nel corso, la seconda riguardante la parte di teoria)<br />
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Modalità verifica apprendimento
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Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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